5.2. На рисунке ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1:OM1 = 7:4, N1N2 + M1M2 = 33 см. Найдите ON2 и OM2.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Фалеса или теоремой о пропорциональных отрезках (теорема о подобии треугольников). ### Решение: 1. **Сделаем рисунок (описание):** Представьте угол с вершиной O. На одной стороне угла отмечены точки $M_1, M_2$, а на другой $N_1, N_2$ так, что $ON_1 = N_1N_2$. Прямые $M_1N_1$ и $M_2N_2$ параллельны. 2. **Используем подобие треугольников:** Так как $M_1N_1 \parallel M_2N_2$, треугольники $\triangle OM_1N_1$ и $\triangle OM_2N_2$ подобны по двум углам (общий угол O и соответственные углы при параллельных прямых). Из условия $ON_1 = N_1N_2$ следует, что $ON_2 = ON_1 + N_1N_2 = ON_1 + ON_1 = 2ON_1$. Таким образом, коэффициент подобия треугольников $k = \frac{ON_2}{ON_1} = 2$. 3. **Найдем стороны:** Так как треугольники подобны с коэффициентом $k=2$, то $OM_2 = 2OM_1$ и $M_2N_2 = 2M_1N_1$. По условию $ON_1 : OM_1 = 7 : 4$. Пусть $ON_1 = 7x$, тогда $OM_1 = 4x$. Тогда $ON_2 = 2 \cdot ON_1 = 14x$. Так как $ON_1 = N_1N_2$, то $N_1N_2 = 7x$. Из подобия $M_2N_2 = 2M_1N_1$. Заметим, что $M_1M_2 = OM_2 - OM_1 = 2OM_1 - OM_1 = OM_1 = 4x$. 4. **Составим уравнение:** По условию $N_1N_2 + M_1M_2 = 33$ см. $7x + 4x = 33$ $11x = 33$ $x = 3$ 5. **Вычислим искомые отрезки:** $ON_2 = 14x = 14 \cdot 3 = 42$ см. $OM_2 = 2OM_1 = 2 \cdot 4x = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см. **Ответ:** $ON_2 = 42$ см, $OM_2 = 24$ см.