Разложите многочлен на множители:

Пример решения: Разложим выражение (1): $5x^3 - 45x$. Вынесем общий множитель $5x$: $5x(x^2 - 9)$. Применим формулу разности квадратов: $5x(x - 3)(x + 3)$. Разложение на множители: 1) $5x(x - 3)(x + 3)$ 2) $4a(2a^2 - 3b^2)$ 3) $7m(2m - 3n)(2m + 3n)$ 4) $2m^2(3 - 4m)(3 + 4m)$ 5) $3x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ 6) $2b(a^2 - b^2) = 2b(a - b)(a + b)$ 7) $5m(m^2 - 2mn + 2n^2)$ 8) $3(4a^2 + 12ab + 9b^2) = 3(2a + 3b)^2$ 9) $-(9x^2 + 6x + 1) = -(3x + 1)^2$ 10) $a(2a^2 - 20ab + 50b^2) = 2a(a^2 - 10ab + 25b^2) = 2a(a - 5b)^2$ 11) $(15a - 30) + (10b - 5ab) = 15(a - 2) - 5b(a - 2) = (a - 2)(15 - 5b) = 5(a - 2)(3 - b)$ 12) $15(5 + n) - 4m(3 + 15n)$ -> $75 + 15n - 12mn - 60m = 15(5 + n) - 12m(n + 5) = (5 + n)(15 - 12m) = 3(5 + n)(5 - 4m)$ 13) $-30k + 30 - 10p + 10kp = 30(1 - k) - 10p(1 - k) = (1 - k)(30 - 10p) = 10(1 - k)(3 - p)$ 14) $12x(x + 1) - 9xy(x + 1) = (x + 1)(12x - 9xy) = 3x(x + 1)(4 - 3y)$ 15) $-15a^2 + 12a - 60ab + 48b = -3a(5a - 4) - 12b(5a - 4) = (5a - 4)(-3a - 12b) = -3(5a - 4)(a + 4b)$ 16) $-24m^2 - 36mn - 24n - 16m = -4m(6m + 4) - 4n(9m + 6) = -8(3m + 2)(m + n)$ (упрощенно) 17) $2k(p^2 - p) - 4k^2(p - p^2)$ - примечание: требуется группировка, ответ $k(p-1)(2p+4k)$ 18) $(m-x-y)(m+x+y)$ 19) $a^2 + b^2 - c^2 - 2ab = (a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c)$ 20) $(3a - 4)^2 - b^2 = (3a - 4 - b)(3a - 4 + b)$ 21) $(x - y)(x + y) + 3(x - y) = (x - y)(x + y + 3)$ 22) $(a - b)(a + b) + 4(a + b) = (a + b)(a - b + 4)$ 23) $(2x - y)(2x + y) + 3(x + y)$ - (остается без изменений) 24) $x(x^2 - y) + 1(y - x^2)$ - примечание: группировка, $(x-1)(x^2-y)$ 25) $a(4 - b^2) - b(4 - b^2) = (4 - b^2)(a - b) = (2 - b)(2 + b)(a - b)$ 26) $c^2(b - 2) - b^2(b - 2) = (b - 2)(c - b)(c + b)$ 27) $(x+2)(x^2+1)$ 28) $(y-1)(y^2+y-1)$ 29) $(a+1)(a^2+7)$ 30) $(b^2+1)(8b-3)$ 31) $x^3(x^2-y^2) - y^3(x^2-y^2) = (x^2-y^2)(x^3-y^3) = (x-y)(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)$ 32) $a^2(a^3 - 8) - 4(a^3 - 8) = (a^3 - 8)(a^2 - 4) = (a-2)(a^2+2a+4)(a-2)(a+2)$ 33) $27(1 - p^2) + p^3(1 + p^2)$ - (остается без изменений) 34) $\frac{1}{2}x(8x^3 - 1)$ 35) $\frac{1}{9}y(1 + 27y^3)$ 36) $(x^2 + y)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ 37) $(a^2 - 4)(a^4 + 4a^2 + 16) = (a-2)(a+2)(a^4+4a^2+16)$ 38) $2m(8m^3 + 1)$ 39) $3k(1 - 27k^3)$ 40) $a^3(a^2 - b^2) - ab(b^4 - a^2)$ - упрощение: $a(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ 41) $(x^2+y^2-2xy)(x^2+y^2+2xy) = (x-y)^2(x+y)^2$ 42) $(2ab - a - b^2)(2ab + a + b^2)$ 43) $(2x - 3 - 3)(2x - 3 + 3) = (2x - 6)(2x) = 4x(x - 3)$ 44) $(4 - 5 + 6a)(4 + 5 - 6a) = (6a - 1)(9 - 6a)$ 45) $(4x + 7 - 5x)(4x + 7 + 5x) = (7 - x)(9x + 7)$ 46) $(7m - 3m - 4)(7m + 3m + 4) = (4m - 4)(10m + 4) = 8(m - 1)(5m + 2)$ 47) $(5x + 4 - 4x + 5)(5x + 4 + 4x - 5) = (x + 9)(9x - 1)$ 48) $(7 - 3p - 8p - 1)(7 - 3p + 8p + 1) = (6 - 11p)(5p + 8)$ 49) $(9a + 4 - 3 - 8a)(9a + 4 + 3 + 8a) = (a + 1)(17a + 7)$ 50) $(2(2a + 1) - 3a)(2(2a + 1) + 3a) = (a + 2)(7a + 2)$ 51) $(6m - 3(10m + 3))(6m + 3(10m + 3)) = (-24m - 9)(36m + 9) = -27(8m + 3)(4m + 1)$ Решение уравнений: 1) $x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x(1 - x)(1 + x) = 0. x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$ 2) $y(4y^2 - 1) = 0 \Rightarrow y(2y - 1)(2y + 1) = 0. y_1 = 0, y_2 = 0.5, y_3 = -0.5$ 3) $9y^2 - 4y^4 = 0 \Rightarrow y^2(3 - 2y)(3 + 2y) = 0. y_1 = 0, y_2 = 1.5, y_3 = -1.5$ 4) $11(x^2 + 8x + 16) = 0 \Rightarrow 11(x + 4)^2 = 0. x = -4$ 5) $m^2(m+6) - (m+6) = 0 \Rightarrow (m^2 - 1)(m+6) = 0 \Rightarrow (m-1)(m+1)(m+6) = 0. m_1 = 1, m_2 = -1, m_3 = -6$ 6) $x^2(x - 5) - 16(x - 5) = 0 \Rightarrow (x^2 - 16)(x - 5) = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4)(x-5) = 0. x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = 5$ 7) $27m - 3m^3 + 10m^2 - 90 = 0 \Rightarrow -3m(m^2 - 9) + 10(m^2 - 9) = 0 \Rightarrow (m^2 - 9)(10 - 3m) = 0 \Rightarrow (m-3)(m+3)(10-3m) = 0. m_1 = 3, m_2 = -3, m_3 = 10/3$ 8) $8a^3 + 12a^2 - 18a - 27 = 0 \Rightarrow 4a^2(2a + 3) - 9(2a + 3) = 0 \Rightarrow (2a + 3)(2a - 3)(2a + 3) = 0 \Rightarrow (2a+3)^2(2a-3) = 0. a_1 = -1.5, a_2 = 1.5$ 9) $(0.5)^3 - p(0.5)^2 - 0.5p^2 + p^3 = 0 \Rightarrow 0.25(0.5 - p) + p^2(p - 0.5) = 0 \Rightarrow (p - 0.5)(p^2 - 0.25) = 0 \Rightarrow (p - 0.5)(p - 0.5)(p + 0.5) = 0 \Rightarrow (p - 0.5)^2(p + 0.5) = 0. p_1 = 0.5, p_2 = -0.5$