В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если: а) угол А острый, то BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC * AH; б) угол А тупой, то BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC * AH.

Для доказательства воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике BHC. Так как BH — высота, $\angle BHC = 90^\circ$. Тогда по теореме Пифагора: $BC^2 = BH^2 + HC^2$. а) Если угол А острый, то точка H лежит на отрезке AC (или его продолжении так, что H находится между A и C, если $\angle C$ тоже острый). Тогда $HC = |AC - AH|$. Так как $HC^2 = (AC - AH)^2 = AC^2 - 2AC \cdot AH + AH^2$, подставим это в формулу: $BC^2 = BH^2 + AH^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$. Заметим, что в прямоугольном треугольнике ABH: $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Заменяя сумму $BH^2 + AH^2$ на $AB^2$, получаем: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$. б) Если угол А тупой, то точка A лежит между H и C. Тогда $HC = AC + AH$. Следовательно, $HC^2 = (AC + AH)^2 = AC^2 + 2AC \cdot AH + AH^2$. Подставим это в формулу $BC^2 = BH^2 + HC^2$: $BC^2 = BH^2 + AH^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$. Так как $AB^2 = BH^2 + AH^2$, получаем: $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$.