В четырёхугольнике ABCD (рис. 86) AO = OC, ∠ACD = ∠BAC. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Решение задач: **Задача 29** Дано: четырехугольник $ABCD$, $AO = OC$, $\angle ACD = \angle BAC$. Доказать: $ABCD$ — параллелограмм. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. У них $AO = OC$ (по условию), $\angle OAB = \angle OCD$ (накрест лежащие углы при $AB \parallel CD$ пока не доказано, но $\angle BAC = \angle ACD$ уже дано). По условию $\angle BAC = \angle ACD$ (это $\angle OAB$ и $\angle OCD$). 2. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные. 3. Таким образом, $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам (по стороне $AO=OC$ и углам $\angle OAB = \angle OCD$, $\angle AOB = \angle COD$). 4. Из равенства треугольников следует, что $BO = OD$. 5. В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC$ и $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма). **Задача 30** Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AT = CN$, $BM = DP$. Доказать: $MNPT$ — параллелограмм. Доказательство: 1. В параллелограмме $ABCD$: $OA = OC$, $OB = OD$ (диагонали точкой пересечения делятся пополам). 2. Так как $AT = CN$ и $AO = OC$, то $OT = OA - AT = OC - CN = ON$. То есть $OT = ON$. 3. Так как $BM = DP$ и $OB = OD$, то $OM = OB - BM = OD - DP = OP$. То есть $OM = OP$. 4. В четырехугольнике $MNPT$ диагонали $MP$ и $NT$ пересекаются в точке $O$ и точкой пересечения делятся пополам ($ON=OT$, $OM=OP$). 5. Следовательно, $MNPT$ — параллелограмм. **Задача 31** Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ (так как $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1$), $BB_1 = 8$ см, $AC_1 = 18$ см. Найти $A_1C$. Решение: 1. Так как треугольники равны, то $AC = A_1C_1 = 18$ см. 2. $AC_1 = AA_1 + A_1C = 18$ см. 3. Из равенства треугольников $ABC = A_1B_1C_1$, следует, что $A_1C = AC_1 - AA_1$. 4. Так как $AA_1 = BB_1 = 8$ см (свойство параллельного переноса, так как $AB=A_1B_1$ и $AB \parallel A_1B_1$, что следует из равенства треугольников и их расположения), то $A_1C = AC_1 - BB_1 = 18 - 8 = 10$ см. Ответ: 10 см.