Домашняя работа по алгебре №1

1. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение: а) $\frac{1}{x^{-6}} \cdot x^3 = x^6 \cdot x^3 = x^9$. При $x=0,1$: $0,1^9 = (10^{-1})^9 = 10^{-9} = 0,000000001$. б) $a^{-3} \cdot \frac{1}{a^{-5}} = a^{-3} \cdot a^5 = a^2$. При $a=0,1$: $0,1^2 = 0,01$. 2. Упростите выражение: а) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{60}} = \sqrt{\frac{15}{60}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0,5$. б) $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{126}} = \sqrt{\frac{14}{126}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. 3. Решите биквадратное уравнение ($t = x^2, t \ge 0$): а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2 - 5t - 36 = 0$. Корни $t_1=9, t_2=-4$ (не подходит, так как $x^2 \ge 0$). $x^2=9 \Rightarrow x = \pm 3$. б) $x^4 - 4x^2 - 45 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2 - 4t - 45 = 0$. Корни $t_1=9, t_2=-5$ (не подходит). $x^2=9 \Rightarrow x = \pm 3$. 4. Решите неравенство методом интервалов: а) $(2-x)(x-1)(x+4) \ge 0$. Корни: $x=2, x=1, x=-4$. Интервалы: $(-\infty; -4] \cup [1; 2]$. б) $(3-x)(x-4)(x+3) \le 0$. Перепишем: $-(x-3)(x-4)(x+3) \le 0 \Rightarrow (x-3)(x-4)(x+3) \ge 0$. Корни: $3, 4, -3$. Интервалы: $[-3; 3] \cup [4; + \infty)$. 5. Решите неравенство: а) $x^2 - 144 > 0 \Rightarrow (x-12)(x+12) > 0$. Ответ: $(-\infty; -12) \cup (12; + \infty)$. б) $x^2 - 8x + 15 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x-5) \le 0$. Ответ: $[3; 5]$. в) $x^2 - 121 < 0 \Rightarrow (x-11)(x+11) < 0$. Ответ: $(-11; 11)$. г) $x^2 - 10x + 21 \ge 0 \Rightarrow (x-3)(x-7) \ge 0$. Ответ: $(-\infty; 3] \cup [7; + \infty)$. 6. Решите задачу: а) Пусть $v$ - скорость лодки. Против течения: $v-1$, по течению: $v+1$. Уравнение: $\frac{21}{v-1} + \frac{8}{v+1} = 2$. $21(v+1) + 8(v-1) = 2(v^2-1) \Rightarrow 21v+21+8v-8 = 2v^2-2 \Rightarrow 2v^2 - 29v - 31 = 0$. Дискриминант: $29^2 - 4(2)(-31) = 841 + 248 = 1089 = 33^2$. $v = \frac{29+33}{4} = 15,5$ км/ч (отрицательный корень отбрасываем). б) Пусть $v$ - собственная скорость катера. По озеру (стоячая вода) скорость равна $v$. Против течения: $v-2$. Уравнение: $\frac{27}{v} + \frac{24}{v-2} = 3$. Делим на 3: $\frac{9}{v} + \frac{8}{v-2} = 1$. $9(v-2) + 8v = v^2 - 2v \Rightarrow 9v-18+8v = v^2-2v \Rightarrow v^2 - 19v + 18 = 0$. Корни $v=18, v=1$. Скорость не может быть 1 км/ч (так как против течения $1-2 < 0$), значит $v=18$ км/ч.