№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании равен $38^{\circ}$, то и второй угол при основании тоже $38^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Тогда угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. Ответ: $104^{\circ}$. 2. На рис. 53 прямые MN и AC пересечены секущими. Углы $\angle MDK = 107^{\circ}$ и $\angle DKF = 73^{\circ}$ в сумме дают $180^{\circ}$ ($107^{\circ} + 73^{\circ} = 180^{\circ}$), значит, прямые MN и AC параллельны (сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$). Если они параллельны, то накрест лежащие углы равны. Угол $\angle KCF = 44^{\circ}$, значит, и накрест лежащий с ним $\angle FKN = 44^{\circ}$. Угол $\angle CFN$ является смежным с углом $\angle CFK$, но нам нужно найти $\angle CFN$ как угол треугольника или через свойства параллельных прямых. Так как $MN \parallel AC$, то $\angle CFN$ и $\angle FCD$ (угловой $\angle KCF$) — накрест лежащие, но тут секущая $FC$ образует $\angle KCF=44^{\circ}$. Угол $\angle CFN$ и угол, смежный с ним, образуют развернутый угол. Однако, проще заметить, что $\angle CFN$ и $\angle KCF$ — накрест лежащие, так как $MN \parallel AC$. Значит, $\angle CFN = \angle KCF = 44^{\circ}$. 3. На рис. 54 в треугольнике ABC угол $\angle A = 60^{\circ}$, угол $\angle B = 36^{\circ}$. Угол $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Угол $\angle ECF$ внешний для треугольника, но нам нужно найти $\angle F$. Рассмотрим треугольник $\triangle CEF$. В нем $\angle CEF$ — внешний для $\triangle BDE$ или $\triangle ADC$? Нет, это просто треугольник. У нас есть $\angle ECF$ как смежный с $\angle ACE$ (часть угла $\angle C$). В треугольнике $\triangle ADC$: $\angle DAC = 60^{\circ}$, $\angle ADC = 180^{\circ} - (60^{\circ} + \angle ACD)$... Проще: сумма углов в $\triangle ABF$ или использование внешнего угла. $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. В $\triangle CEF$ углы: $\angle ECF = 96^{\circ}$, $\angle CEF = 24^{\circ}$. Тогда $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}$.