1. Пусть число имеет вид 10a+b. 10a+b - (10b+a) = 18 => 9a-9b=18 => a-b=2. Также a+b=14. Складывая: 2a=16, a=8, b=6. Число 86.
2. Точка C лежит между P и M.
3. В треугольнике углы при основании равны. Один угол 25°. Сумма 180°. Третий угол = 180°-25°-25°=130°.
4. $1/3x + 2/9x + 5/27x = -20$. Приводим к знаменателю 27: $(9+6+5)/27 x = -20$ => $20/27 x = -20$ => $x = -27$.
5. Отдых.
6. Отдых.
7. Нет, внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Если треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Внешний угол при вершине 180-2x. Если он прямой, то x=45. Тогда углы 45, 45, 90. Треугольник прямоугольный равнобедренный.
8. $(1-2x)/4 - (3x+20)/6 = x/3$. Умножим на 12: $3(1-2x) - 2(3x+20) = 4x$ => $3-6x-6x-40 = 4x$ => $-12x-37=4x$ => $16x=-37$ => $x=-37/16 = -2.3125$.
9. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной, угол при основании 60°. Высота против угла 60° равна $x\sqrt{3}$. $x\sqrt{3}=5$ => $x=5/\sqrt{3}$. Основание $2x = 10/\sqrt{3}$.
10. Отдых.
11. y=-0.4x - прямая, проходящая через начало координат. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
12. Равны как радиусы и вертикальные углы (или дуги). Треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и углу между ними, значит AC=BD.
13. Смежные углы: 180°-115°=65°. Треугольник равнобедренный (пометки на сторонах), значит второй угол 65°. Угол при вершине 180-65-65=50°.
14. На рисунке равнобедренный треугольник. MP=PN. Если MN=36, то MP=PN. Треугольник прямоугольный, $MP^2+PN^2=36^2$ => $2MP^2=1296$ => $MP^2=648$ => $MP=18\sqrt{2}$.
15. Сумма сторон 26. $a+a+b=26$ => $2a+b=26$. Треугольник существует, если $2a>b$. $2a>26-2a$ => $4a>26$ => $a>6.5$. Если основание b: $b+b+a=26$, $b>a/2$.
16. Отдых.
17. $x-2=0$ или $x+3=0$. $x=2$ или $x=-3$.
18. $3x+7x+5x=165$ => $15x=165$ => $x=11$. Стороны: 33, 77, 55.
19. $-0.4 - 11/18 = -4/10 - 11/18 = -2/5 - 11/18 = -36/90 - 55/90 = -91/90 = -1 1/90$.
20. Если все стороны равны (равносторонний), то все углы равны 60°. Нет, не могут.
21. $x + y = 2(x+y)$ возможно только если $x+y=0$.
22. Биссектриса и высота не всегда лежат внутри. В тупоугольном треугольнике высота из острого угла лежит вне.
23. $8x-15=6x-3.3$ => $2x=11.7$ => $x=5.85$.
24. $P = 2(x + x-2) = 2(2x-2) = 4x-4$. При $x=8$: $P=4(8)-4=28$.
25. $(2c-1)/9 + (c+3)/4 = 0$ => $4(2c-1)+9(c+3)=0$ => $8c-4+9c+27=0$ => $17c=-23$ => $c=-23/17$.
26. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой. $AM=1/2 AB$, поэтому $AM^2 = AM^2$ (тождество).
27. $a-bc$.
28. Нет, только в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами.
29. $AB=9, BC=4$. $AC$ может быть $9+4=13$ или $9-4=5$ (если точки на одной прямой) или в треугольнике $9-4 < AC < 9+4$ => $5 < AC < 13$.
30. Отдых.
31. Молодец!
