4*. Из точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры AC и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°.

Пусть прямая называется $a$. Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от нее. Проведены перпендикуляры $AC \perp a$ и $BD \perp a$. Значит, $AC \parallel BD$ (так как обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой $a$). а) Так как $AC \parallel BD$, то сумма углов, прилежащих к секущей $AB$, равна $180^\circ$ ($\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ$). Отсюда $\angle ABD = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. **Ответ: 63°** б) Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. У него $AC \perp CD$ и $BD \perp CD$, следовательно $AC \parallel BD$. Это значит, что $ABDC$ — трапеция (если $AC \neq BD$) или прямоугольник (если $AC = BD$). В любом случае прямая $AB$ является боковой стороной трапеции, а прямая $CD$ — это прямая $a$. Так как $AC \perp a$ и $BD \perp a$, то $AC \parallel BD$. Если $AC \neq BD$, прямые $AB$ и $CD$ (прямая $a$) не параллельны, так как $AC$ и $BD$ перпендикулярны $CD$, а $AC \neq BD$ (по условию $\angle BAC = 117^\circ$, значит $AC$ и $BD$ не могут быть равны, иначе $ABDC$ был бы прямоугольником и $\angle BAC = 90^\circ$). Если прямые не параллельны, то они пересекаются.