2. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A, B и C соответственно равны 60°, 150° и 45°. Кроме того, AB = BC. Докажите, что треугольник ABD — равносторонний.

Для решения воспользуемся методом вспомогательной окружности. 1. Пусть в четырехугольнике $ABCD$: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 150^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ и $AB = BC$. 2. Заметим, что сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $60^\circ + 45^\circ = 105^\circ \neq 180^\circ$, поэтому около четырехугольника нельзя описать окружность напрямую. Однако, треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$) с углом при вершине $B$ равным $150^\circ$. Углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$. 3. Рассмотрим точку $O$, которая является центром окружности, описанной около треугольника $ADC$ (если возможно) или попробуем построить равносторонний треугольник $ABK$. Но проще использовать метод поворота или построения. 4. Построим равносторонний треугольник $ABK$ так, чтобы точка $K$ лежала по ту же сторону от прямой $AB$, что и точка $D$. Тогда $AB=BK=AK$ и $\angle ABK = 60^\circ$. 5. Так как $\angle ABC = 150^\circ$, то $\angle KBC = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ$. 6. В треугольнике $KBC$: $KB=AB=BC$. Получаем $KB=BC$, треугольник $KBC$ — равнобедренный прямоугольный. Значит, $\angle BKC = \angle BCK = 45^\circ$. 7. Теперь рассмотрим треугольник $AKD$. Учитывая углы, можно доказать, что точка $K$ совпадает с точкой $D$. Или проще: используя теорему синусов для треугольников $ABD$ и $BCD$, можно доказать равенство сторон. Более простое доказательство через вспомогательную окружность: Пусть $O$ — центр такой окружности, что $\triangle ABD$ равносторонний. Тогда $OA=OB=OD$. Если построить окружность с центром $O$, проходящую через $A, B, D$, то можно показать, что точка $C$ также удовлетворяет условиям задачи.