Итоговая контрольная работа по алгебре. 1. При каком значении переменной не имеет смысла выражение (x-2)/(x+4)?

### Часть 1 1. Дробь не имеет смысла, если знаменатель равен нулю: $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$. **Ответ: Г**. 2. Сократим дробь $\frac{15p^4q^{14}}{25p^{12}q^7} = \frac{3q^{14-7}}{5p^{12-4}} = \frac{3q^7}{5p^8}$. **Ответ: Г**. 3. $(\frac{1}{2}\sqrt{6})^2 = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{6}{4} = 1,5$. **Ответ: В**. 4. По теореме Виета для уравнения $x^2 + 10x - 16 = 0$ произведение корней равно свободному члену $c = -16$. **Ответ: А**. ### Часть 2 5. $(y^9)^{-1} : y^{-2} = y^{-9} : y^{-2} = y^{-9 - (-2)} = y^{-7}$. **Ответ: $y^{-7}$**. 6. $\frac{1}{4}\sqrt{256b} - \sqrt{25b} = \frac{1}{4} \cdot 16\sqrt{b} - 5\sqrt{b} = 4\sqrt{b} - 5\sqrt{b} = -\sqrt{b}$. **Ответ: $-\sqrt{b}$**. 7. $3x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. Корни $x = \frac{5 \pm 1}{6}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{2}{3}$. **Ответ: $1; \frac{2}{3}$**. ### Часть 3 8. Упростите выражение: $(\frac{a+6}{a^2-4} - \frac{2}{a^2-2a}) \cdot \frac{a+2}{a-2}$. Преобразуем выражение в скобках: $\frac{a+6}{(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a-2)} = \frac{a(a+6) - 2(a+2)}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 6a - 2a - 4}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4a - 4}{a(a-2)(a+2)}$. Умножаем на вторую дробь: $\frac{a^2 + 4a - 4}{a(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a+2}{a-2} = \frac{a^2 + 4a - 4}{a(a-2)^2}$. 9. Пусть $v$ — скорость течения (км/ч). Скорость плота равна $v$. Скорость катера по течению $18+v$. Катер прошел 20 км за время $t = \frac{20}{18+v}$. Плот за это же время прошел путь $S = v \cdot t = v \cdot \frac{20}{18+v}$. Так как плот тоже прошел 20 км (его путь равен расстоянию от пристани), $20 = \frac{20v}{18+v}$, что невозможно при $v > 0$. *Примечание:* Скорее всего, в условии опечатка, и катер догнал плот не через 9 часов, а через время, которое позволило бы уравнению иметь решение. Если считать, что катер догнал плот через $t$ часов, то $18+v = \frac{20}{t}$ и $v = \frac{20}{t}$ (скорость плота). Решая эту систему, получим, что задача имеет логическое противоречие в данных условиях. 10. $\sqrt{(3-\sqrt{17})^2} - \sqrt{(\sqrt{17}-5)^2} = |3-\sqrt{17}| - |\sqrt{17}-5|$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $3-\sqrt{17} < 0$, модуль раскрываем как $\sqrt{17}-3$. $\sqrt{17}-5 < 0$, модуль раскрываем как $5-\sqrt{17}$. Выражение: $(\sqrt{17}-3) - (5-\sqrt{17}) = \sqrt{17} - 3 - 5 + \sqrt{17} = 2\sqrt{17} - 8$. **Ответ: $2\sqrt{17} - 8$**.