На доске написано число. Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2018

Ответ: нет, Олег не может получить число 1, если исходное число не содержит в себе 1 в качестве цифры в определенной позиции, либо если применимые операции не позволяют привести число к единице. Разберем почему: 1. Операции: - Стирание последней цифры: это то же самое, что целочисленное деление на 10 ($x \to \lfloor x/10 \rfloor$). - Прибавление 2018: $x \to x + 2018$. 2. Рассмотрим остатки при делении на 9. - Число 2018 при делении на 9 дает остаток: $2+0+1+8 = 11$; $11 \equiv 2 \pmod 9$. - Операция прибавления 2018 меняет остаток числа по модулю 9, прибавляя к нему 2. - Операция удаления последней цифры (деления на 10) не имеет простого вида по модулю 9. 3. Однако, ключевое ограничение кроется в росте чисел и доступных действиях. Любое число, к которому мы прибавляем 2018, становится больше. Чтобы уменьшить число, мы обязаны использовать деление на 10. В подобных олимпиадных задачах часто проверяется инвариант по модулю. Если бы мы могли получить 1 из любого числа, то цепочка действий должна быть обратимой или обладать свойством монотонности к цели. Но так как 2018 не кратно 9, а операции «сдвига» и «сложения» ведут себя хаотично относительно делимости, универсального алгоритма превращения любого числа в 1 не существует. Если исходное число, например, 2, мы никак не сможем получить 1 (прибавить 2018 — станет 2020, стереть цифру — 202, стереть — 20, стереть — 2). Мы всегда будем возвращаться к 2 или получать большие числа.