### Задача 21
Дано: равнобедренная трапеция, высота $h=5$, меньшее основание $b=7$, угол при основании $\alpha = 45^\circ$.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная на большее основание, отсекает отрезок длиной $x = h / \tan(45^\circ) = 5 / 1 = 5$.
Так как трапеция равнобедренная, проекция боковой стороны на большее основание равна 5.
Большее основание $a = b + 2x = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17$.
**Ответ: 17**
### Задача 22
Дано: равнобедренная трапеция $ABCD$, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH=1$ и $HD=11$.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины $C$ на $AD$, отсекает отрезок $HD$, равный средней линии или полусумме оснований, а отрезок $AH$ равен разности оснований, деленной на 2. Но проще: отрезок $AH$ равен разности оснований, деленной на 2. Если $HD=11$, то $AH=1$. Значит, $BC = HD - AH = 11 - 1 = 10$.
**Ответ: 10**
### Задача 23
Дано: равнобедренная трапеция $ABCD$, $AD || BC$, $\angle D = 73^\circ$, $\angle ACD = 19^\circ$.
В трапеции $AD || BC$, значит, $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие).
Рассмотрим треугольник $ACD$: $\angle CAD = 180^\circ - \angle D - \angle ACD = 180^\circ - 73^\circ - 19^\circ = 88^\circ$.
Искомый угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ — это $\angle BCA$. Так как $\angle BCA = \angle CAD = 88^\circ$.
**Ответ: 88**
### Задача 24
Дано: равнобедренная трапеция $ABCD$, $\angle D = 48^\circ$, $AC$ — биссектриса $\angle BAD$.
Так как $AD || BC$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие).
Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle CAD$.
Значит, $\angle BCA = \angle BAC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$.
В равнобедренной трапеции $\angle A = \angle D = 48^\circ$.
Тогда $\angle BAC = \angle CAD = 48^\circ / 2 = 24^\circ$.
$\angle BCA = 24^\circ$.
Искомый угол $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle D = 180^\circ - 24^\circ - 48^\circ = 108^\circ$. (Или через смежные углы в треугольнике).
**Ответ: 108**
### Задача 25
Дано: равнобедренная трапеция, диагональ образует с боковыми сторонами углы $24^\circ$ и $78^\circ$.
Пусть диагональ $AC$ образует с боковой стороной $CD$ угол $\angle ACD = 78^\circ$ и с другой боковой стороной $AB$ угол $\angle BAC = 24^\circ$.
Так как трапеция равнобедренная, $\angle CAD = \angle BCA$ (накрест лежащие при параллельных основаниях).
Угол при большем основании $\angle D = \angle A$. В $\triangle ACD$: $\angle D = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD = 180^\circ - 78^\circ - \angle CAD$.
Так как $BC || AD$, $\angle CAD = \angle BCA$.
В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 24^\circ - \angle CAD$.
Так как $\angle B + \angle A = 180^\circ$ (сумма односторонних углов), то $180 - 24 - \angle CAD + 2 \angle CAD = 180$. Нет, проще: угол при большем основании $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 24^\circ + \angle CAD$.
$\angle D = \angle A = 24^\circ + \angle CAD$.
$24 + \angle CAD = 180 - 78 - \angle CAD \Rightarrow 2 \angle CAD = 78$. Ошибка.
В трапеции $\angle D = \angle C$. $\angle C = \angle BCA + \angle ACD = \angle CAD + 78^\circ$.
Угол при основании $\angle D = 180 - \angle C - \angle CAD = 180 - (\angle CAD + 78) - \angle CAD = 102 - 2\angle CAD$.
Так как $\angle D = \angle A = \angle CAD + 24^\circ$, получаем: $\angle CAD + 24 = 102 - 2\angle CAD \Rightarrow 3 \angle CAD = 78 \Rightarrow \angle CAD = 26^\circ$.
Тогда угол при основании $\angle D = 26^\circ + 24^\circ = 50^\circ$.
**Ответ: 50**
