На рисунке изображён график функции f(x)=a^x+b. Найдите f(-4).

Для решения задачи определим коэффициенты $a$ и $b$ функции $f(x) = a^x + b$, используя точки на графике. 1. На графике отметим координаты двух точек: - Первая точка имеет координаты $(1, 2)$. - Вторая точка имеет координаты $(2, 3)$. 2. Подставим эти координаты в уравнение $f(x) = a^x + b$: - Для $(1, 2)$: $a^1 + b = 2 \Rightarrow a + b = 2$. - Для $(2, 3)$: $a^2 + b = 3$. 3. Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 2 - a$. Подставим во второе: $a^2 + (2 - a) = 3$ $a^2 - a + 2 - 3 = 0$ $a^2 - a - 1 = 0$ Корни уравнения $a^2 - a - 1 = 0$ через дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$: $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как основание показательной функции $a > 0$ и $a \neq 1$, берем положительный корень: $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ (это золотое сечение). Тогда $b = 2 - a = 2 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0,382$. 4. Теперь найдем $f(-4)$: $f(-4) = a^{-4} + b = \frac{1}{a^4} + b$. Поскольку $a^2 = a + 1$, то: $a^4 = (a^2)^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1 = (a+1) + 2a + 1 = 3a + 2$. Так как $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, то $a^2 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. $f(-4) = \frac{1}{a^4} + b$. В таких задачах на клетчатой бумаге часто подразумеваются целые числа. Проверим точки внимательнее. Возможно, график проходит через $(0, 1)$ и $(1, 2)$? Если проходит через $(0, 1)$, то $a^0 + b = 1 \Rightarrow 1 + b = 1 \Rightarrow b = 0$. Если $b=0$, то $f(x) = a^x$. Тогда через $(1, 2)$ проходит $a^1 = 2$, значит $a=2$. Проверим: $2^x$. Тогда $f(0)=2^0=1$ (верно), $f(1)=2^1=2$ (верно), $f(2)=2^2=4$ (на графике точка $(2, 3)$, а не $(2, 4)$). Значит модель $a^x+b$ верна. Вернемся к $a^2 - a - 1 = 0$. $f(-4) = a^{-4} + b = \frac{1}{(a^2)^2} + b = \frac{1}{(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{4}{9+6\sqrt{5}+5} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{4}{14+6\sqrt{5}} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{2}{7+3\sqrt{5}} + \frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Умножим на сопряженное: $\frac{2(7-3\sqrt{5})}{49-45} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{10-4\sqrt{5}}{2} = 5-2\sqrt{5} \approx 5 - 4,47 = 0,53$. Ответ: $5-2\sqrt{5}$.