Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобокой трапеции. Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция ($AD \parallel BC$), где $BC = 24$ см, $AD = 40$ см. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. 1. Проведем высоты $CK$ и $BM$ из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезки $AK$ и $MD$ равны: $AK = MD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{40 - 24}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Тогда отрезок $KD = AD - AK = 40 - 8 = 32$ см (так как $KD = AM + MD$, а $AM=BC=24$, то $KD = 24 + 8 = 32$ см). 2. В прямоугольном треугольнике $ACD$ высота $CK$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. По свойству высоты прямоугольного треугольника: $CK^2 = AK \cdot KD$ $CK^2 = 8 \cdot 32 = 256$ $CK = \sqrt{256} = 16$ см. Это и есть высота трапеции. 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$ $S = \frac{40 + 24}{2} \cdot 16 = \frac{64}{2} \cdot 16 = 32 \cdot 16 = 512$ см$^2$. Ответ: 512 см$^2$.