Задание 1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 35 см.

Задание 1. Дано: Равносторонний треугольник $ABC$. $R = 35$ см (радиус описанной окружности). Найти: $r$ (радиус вписанной окружности). Решение: Для равностороннего треугольника справедливо соотношение: $R = 2r$ Следовательно: $r = \frac{R}{2}$ $r = \frac{35}{2} = 17,5$ см. Ответ: 17,5 см. Задание 2. Дано: Равносторонний треугольник $ABC$. Точка касания вписанной окружности $K$ делит сторону (например, $AB$) на отрезки $AK$ и $KB$. $AK = P_{ABC} - 20$ (или $KB = P_{ABC} - 20$). Найти: Сторону $a = AB = BC = AC$. Решение: 1. В равностороннем треугольнике вписанная окружность касается сторон в их серединах. Значит, точка касания делит сторону пополам: $AK = KB = \frac{a}{2}$. 2. Периметр равностороннего треугольника: $P = 3a$. 3. Согласно условию, один из отрезков на 20 см меньше периметра: $\frac{a}{2} = 3a - 20$ 4. Умножим на 2: $a = 6a - 40$ $5a = 40$ $a = 8$ см. Ответ: 8 см.