Денис загадал число. Он сказал: «Если моё число разделить на 14, то остаток будет в 3 раза меньше, чем частное».

Задача 9: Пусть $x$ — загаданное число, $q$ — частное, $r$ — остаток. По условию, $x = 14q + r$, где $r < 14$. Также известно, что остаток в 3 раза меньше частного: $q = 3r$. Подставим это в уравнение: $x = 14(3r) + r = 42r + r = 43r$. Число $x$ находится в интервале $220 < x < 300$. Найдем возможные значения для $r$: Если $r=5$, $x = 43 * 5 = 215$ (меньше 220, не подходит). Если $r=6$, $x = 43 * 6 = 258$ (подходит, так как $220 < 258 < 300$). Если $r=7$, $x = 43 * 7 = 301$ (больше 300, не подходит). Ответ: 258. Задача 10: Пусть $N$ — четырехзначное число, $S$ — сумма его цифр. Разность $N - S$ всегда делится на 9 (признак делимости на 9). Полученное число после зачеркивания цифры — 185. Пусть зачеркнутая цифра — $k$. Тогда число, состоящее из оставшихся цифр, равно $1850 + k$ или $185k$, или другое (зависит от того, где была зачеркнутая цифра). Однако, по свойству делимости, разность между числом и суммой его цифр делится на 9. Значит, $1850 + k$ должно давать при делении на 9 такой же остаток, что и число, полученное после зачеркивания. Сумма цифр числа 185 — $1+8+5=14$. Остаток от деления на 9 равен 5. Значит, $185 + k$ (цифра была в конце) или подобные варианты должны удовлетворять условию. Проверим $185 + k ightarrow 1+8+5+k = 14+k$. Остаток от деления на 9 должен быть 0. $14+k$ кратно 9, значит $k=4$. Проверка: $1854$ (сумма 18), $1854 - 18 = 1836$. Зачеркиваем 3, получаем 186 (не 185). Попробуем число 185 (x). Если $N - S = 185k$ (где $185k$ — трехзначное число). $1850 + k ext{ mod } 9 = 5+k ext{ mod } 9$. Так как $N-S$ делится на 9, остаток должен быть 0. $5+k ext{ mod } 9 = 0 \Rightarrow k = 4$. Ответ: 4.