128. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 24°.

Решение заданий: 128. Пусть внешняя биссектриса угла B равна l. По условию, $l \parallel AC$. Угол между $l$ и прямой $AB$ равен половине внешнего угла при вершине $B$. Так как $l \parallel AC$, накрест лежащие углы равны. Обозначим $\angle BAC = \alpha, \angle BCA = \gamma$. Тогда $180^\circ - (\alpha + \gamma) + 24^\circ = 180^\circ \implies \alpha + \gamma = 156^\circ$. Поскольку биссектриса внешнего угла параллельна основанию, треугольник равнобедренный при вершине $B$ (или через свойства углов при параллельных прямых): $\angle BAC = \angle BCA$. Тогда $2\alpha = 156^\circ, \alpha = 78^\circ$. Ответ: 78. 129. Диаметры $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. $\triangle BOD$ и $\triangle AOC$ — вертикальные. $\angle AOC = \angle BOD = 150^\circ$. $\triangle AOC$ — равнобедренный ($OA=OC=R$). $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$. Угол $ADO$ — это угол $OAD$, если рассматривать треугольник $AOD$ (также равнобедренный с углом $180-150=30$ при основании, но это не то). По свойствам вертикальных углов и смежных, $\angle AOD = 180 - 150 = 30^\circ$. $\triangle AOD$ равнобедренный, $\angle ADO = (180 - 30) / 2 = 75^\circ$. Ответ: 75. 130. Пусть углы $x, 2x, 3x$. $x+2x+3x = 180^\circ \implies 6x = 180^\circ, x=30^\circ$. Углы $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике ($C=90^\circ$), $BM$ — биссектриса, делит угол $B=60^\circ$ пополам. $\angle MBC = 30^\circ$. В $\triangle BMC$: $\angle C=90^\circ, \angle MBC = 30^\circ$. $MC = BM \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$. Ответ: 5. 131. В $\triangle ABC$: $\angle C=75^\circ, \angle A=35^\circ, \angle B=180 - 75 - 35 = 70^\circ$. Угол $\angle DBC$ — смежный с $\angle ABC$, $\angle DBC = 180 - 70 = 110^\circ$. $\triangle BCD$ равнобедренный ($BC=BD$), значит $\angle BCD = \angle BDC = (180 - 110) / 2 = 35^\circ$. Ответ: 35. 132. В $\triangle ALC$: $\angle ALC = 138^\circ$. Внешний угол для треугольника. $\angle LAC + \angle C = 180 - 138 = 42^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 2 \angle LAC$. Угол $ABC = 131^\circ$. Сумма углов $A+B+C = 180^\circ$. $2\angle LAC + 131 + \angle C = 180^\circ$. $2\angle LAC + \angle C = 49^\circ$. Вычтем из этого уравнения первое: $\angle LAC = 7^\circ$. Тогда $\angle A = 14^\circ$. $\angle C = 42 - 7 = 35^\circ$. Ответ: 35. 133. В прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$ ($CD \perp AB$): $\cos B = BC / BD$ (нет, $BD$ — катет). $BD=3, BC=6$. $\cos B = 3/6 = 0.5 \implies \angle B = 60^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle C=90^\circ, \angle B=60^\circ \implies \angle A = 30^\circ$. Ответ: 30. 134. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOC = x-16^\circ$. $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 140^\circ$. $x-16+x = 140 \implies 2x = 156 \implies x=78^\circ$. $\angle BOC = 78^\circ$. $OM$ — биссектриса $\angle BOC \implies \angle COM = 78 / 2 = 39^\circ$. Ответ: 39. 135. $AB$ и $CD$ — диаметры, $O$ — центр. $OA=OB=OC=OD=R$. $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ равны (по двум сторонам и углу между ними, вертикальные углы). Периметр $P(AOD) = OA + OD + AD$. Так как $\triangle AOD = \triangle COB$, $AD = CB = 11$. $OA = OD = R = AB/2 = 17/2 = 8.5$. $P = 8.5 + 8.5 + 11 = 28$. Ответ: 28. 136. Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по двум сторонам ($AB=AC$, $AD$ общая, углы между ними равны, так как $AD$ — биссектриса). Значит $BD = CD$. В $\triangle BDC$ (равнобедренный): $\angle D = 160^\circ$. $\angle DBC = \angle DCB = (180 - 160) / 2 = 10^\circ$. В $\triangle ABD$: $\angle ADB = (180 - \angle BAD)/2$. Это путь к уравнению. Проще: углы при основании $BC$ равны. $\angle ABC = \angle ACB$. Вся сумма $180$. $2\angle ABC + \angle BAC = 180$. В $\triangle BDC$ углы $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$. Здесь проще рассмотреть сумму углов. Ответ: 20. Ответ: 20.