129. Диаметры AB и CD окружности пересекаются в точке O. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

### Решение заданий: **129.** Диаметры $AB$ и $CD$ пересекаются в центре $O$. $\angle BOD$ и $\angle AOC$ — вертикальные углы, значит $\angle AOC = \angle BOD = 150^\circ$. $\angle AOD$ и $\angle BOD$ — смежные, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Треугольник $AOD$ равнобедренный ($AO=OD=R$), значит $\angle ADO = \angle OAD = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. **Ответ: 75.** **130.** Пусть части углов $1x, 2x, 3x$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит $1x+2x+3x=180^\circ \Rightarrow 6x=180^\circ \Rightarrow x=30^\circ$. Углы треугольника: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Это прямоугольный треугольник. $BM$ — биссектриса угла $B=60^\circ$, значит $\angle ABM = \angle CBM = 30^\circ$. В треугольнике $BCM$: $\angle CBM=30^\circ, \angle C=90^\circ, \angle BMC=60^\circ$. По теореме синусов или через косинус угла $30^\circ$: $MC = BM \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5$. **Ответ: 5.** **131.** В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ$. Так как $D$ на продолжении $AB$, $\angle CBD$ — внешний угол, $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. В $\triangle BCD$ (равнобедренный, $BC=BD$): $\angle BCD = \angle BDC = (180^\circ - 105^\circ) / 2 = 75^\circ / 2 = 37,5^\circ$. **Ответ: 37,5.** **132.** В $\triangle ABL$: $\angle ALB = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. Пусть $\angle BAL = \alpha$, тогда $\angle ABL = 131^\circ$. Сумма углов: $\alpha + 131^\circ + 42^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 7^\circ$. Т.к. $AL$ — биссектриса, $\angle BAC = 2 \cdot \alpha = 14^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - 14^\circ - 131^\circ = 35^\circ$. **Ответ: 35.** **133.** В прямоугольном $\triangle ABC$, $\triangle CBD \sim \triangle ACD \sim \triangle ABC$. В $\triangle CBD$: $\cos B = BC / BD = 6 / 3$? Нет, $DB=3, BC=6$ невозможно для катета, вероятно, $BC$ — гипотенуза или опечатка. Если $CD \perp AB$, то $\triangle ABC$ с катетами $BC, AC$. По формуле $BC^2 = BD \cdot AB$. $36 = 3 \cdot AB \Rightarrow AB=12$. $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{144-36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$. $\sin A = BC/AB = 6/12 = 0,5 \Rightarrow A=30^\circ$. **Ответ: 30.** **134.** $\angle AOC + \angle BOC = 140^\circ$. $\angle BOC - \angle AOC = 16^\circ$. Сложим: $2 \cdot \angle BOC = 156^\circ \Rightarrow \angle BOC = 78^\circ$. $OM$ — биссектриса $\angle BOC$, значит $\angle COM = 78^\circ / 2 = 39^\circ$. **Ответ: 39.** **135.** Диаметры $AB=17$ (значит $R=8,5$), $CD=17$. Треугольник $AOD$ равнобедренный ($AO=OD=R=8,5$). $CB=11$ — хорда. $\triangle COB$ — равнобедренный ($CO=OB=R=8,5$), по теореме косинусов $\cos(\angle COB) = (8,5^2 + 8,5^2 - 11^2) / (2 \cdot 8,5 \cdot 8,5) = (72,25 + 72,25 - 121) / 144,5 = 23,5 / 144,5 \approx 0,16$. $\angle AOD = \angle COB$ (вертикальные). Сторона $AD$ в $\triangle AOD$ по теореме косинусов: $AD = \sqrt{8,5^2 + 8,5^2 - 2 \cdot 8,5^2 \cdot \cos(\angle AOD)} = \sqrt{144,5 - 144,5 \cdot (23,5/144,5)} = \sqrt{144,5 - 23,5} = \sqrt{121} = 11$. Периметр = $8,5 + 8,5 + 11 = 28$. **Ответ: 28.** **136.** Пусть $\angle BAC = 2x$. $AB=AC=AD$. $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равнобедренные. $\angle ADB = \angle ABD = (180-x)/2 = 90 - 0,5x$. $\angle ADC = \angle ACD = (180-x)/2 = 90 - 0,5x$. $\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC = 180 - x$. По условию $160^\circ = 180 - x \Rightarrow x = 20^\circ$. Угол $\angle BAC = 2x = 40^\circ$. **Ответ: 40.**