12. Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертёж, на котором указать пути и перемещения автомобиля за всё время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Пусть автомобиль движется по дуге окружности радиусом $R$. За всё время движения $T$ он проходит половину окружности, то есть путь $S_{полн} = \pi R$. Перемещение за это время равно диаметру окружности: $|\vec{s}_{полн}| = 2R$. За время $t = T/3$ автомобиль проходит $1/3$ от половины окружности, то есть $1/6$ полной окружности. 1. Путь за это время: $S_1 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{3}$. 2. Перемещение $|\vec{s}_1|$ при движении по дуге $60^\circ$ ($\frac{1}{6}$ окружности) равно хорде, стягивающей эту дугу. Так как треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, равносторонний, то $|\vec{s}_1| = R$. Сравним пути и перемещения: - За всё время: $\frac{S_{полн}}{|\vec{s}_{полн}|} = \frac{\pi R}{2R} = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. - За треть времени: $\frac{S_1}{|\vec{s}_1|} = \frac{\pi R / 3}{R} = \frac{\pi}{3} \approx 1,05$. Ответ: За всё время путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{2}$ раз; за треть времени путь больше модуля перемещения в $\frac{\pi}{3}$ раз.