Для положительных a, b, c найдите минимум выражения (3a + b)(a + 2c)(6c + b) при abc = 3/2.

Для нахождения минимума выражения $E = (3a + b)(a + 2c)(6c + b)$ при условии $abc = \frac{3}{2}$ и положительных $a, b, c$, воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство AM-GM): 1. Применим неравенство AM-GM к каждому из трех множителей: $3a + b \ge 2\sqrt{3ab}$ $a + 2c \ge 2\sqrt{2ac}$ $6c + b \ge 2\sqrt{6bc}$ 2. Перемножим эти неравенства: $(3a + b)(a + 2c)(6c + b) \ge (2\sqrt{3ab})(2\sqrt{2ac})(2\sqrt{6bc})$ 3. Упростим правую часть: $E \ge 8 \cdot \sqrt{3ab \cdot 2ac \cdot 6bc}$ $E \ge 8 \cdot \sqrt{36 \cdot a^2 b^2 c^2}$ $E \ge 8 \cdot 6 \cdot abc$ 4. Подставим значение $abc = \frac{3}{2}$: $E \ge 48 \cdot \frac{3}{2} = 24 \cdot 3 = 72$ Равенство достигается, когда $3a = b$, $a = 2c$ и $6c = b$. Проверим это: $b = 3a$, $c = \frac{a}{2}$. Подставим в условие: $a \cdot (3a) \cdot (\frac{a}{2}) = \frac{3}{2} a^3 = \frac{3}{2} \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$. Тогда $a=1, b=3, c=0.5$. Ответ: 72.