4. Через [x] обозначается целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x, {x} = x - [x]. Найдите наименьшее положительное число x такое, что { [x]/x } + [ {x}/x ] != 1.

Для решения задачи проанализируем выражение: $\{\frac{[x]}{x}\} + [\frac{\{x\}}{x}] \neq 1$. Пусть $x$ — положительное число. Запишем $x = n + \alpha$, где $n = [x]$ — целая часть ($n$ — натуральное число, так как $x > 0$), а $\alpha = \{x\}$ — дробная часть ($0 \le \alpha < 1$). Тогда выражение принимает вид: $\{\frac{n}{n+\alpha}\} + [\frac{\alpha}{n+\alpha}] \neq 1$. 1. Рассмотрим второе слагаемое: $[\frac{\alpha}{n+\alpha}]$. Так как $n \ge 1$ (наименьшее положительное $x$ будет в окрестности $n=1$), а $\alpha < 1$, то $0 \le \frac{\alpha}{n+\alpha} < 1$. Следовательно, целая часть $[\frac{\alpha}{n+\alpha}] = 0$. 2. Тогда исходное условие упрощается до: $\{\frac{n}{n+\alpha}\} \neq 1$. Значение дробной части $\{y\}$ всегда лежит в интервале $[0, 1)$. Она никогда не равна 1. Следовательно, условие $\{y\} \neq 1$ выполняется для всех $y$, кроме тех, где $\{y\} = 1$ (но $\{y\}$ никогда не равна 1, так что условие выполняется при условии, что выражение определено). Нам нужно найти наименьшее положительное $x$. Если $x$ — целое число ($x=n$), то $\{x\} = 0$, $[x] = n$. Подставим: $\{\frac{n}{n}\} + [\frac{0}{n}] = \{1\} + 0 = 0 + 0 = 0 \neq 1$. Условие выполняется для любого натурального $n$. Наименьшее положительное целое число — это 1. Проверим $x=1$: $\{\frac{[1]}{1}\} + [\frac{\{1\}}{1}] = \{\frac{1}{1}\} + [\frac{0}{1}] = \{1\} + 0 = 0 + 0 = 0$. Так как $0 \neq 1$, условие выполняется. Ответ: 1.