Квадрат натурального числа даёт при делении на n остаток 18, а куб того же числа даёт при делении на n остаток 77.

Пусть искомое число равно $x$, а делитель равен $n$. По условию задачи: 1. $x^2 \equiv 18 \pmod n$ 2. $x^3 \equiv 77 \pmod n$ Так как остатки при делении на $n$ равны 18 и 77, то $n > 77$. Выразим связь между этими выражениями: $x^3 = x \cdot x^2$. Так как $x^2 \equiv 18 \pmod n$, то $x^3 \equiv 18x \pmod n$. Следовательно, $18x \equiv 77 \pmod n$. Теперь у нас есть система сравнений: $x^2 \equiv 18 \pmod n$ $18x \equiv 77 \pmod n$ Исключим $x$ из этой системы: Умножим первое уравнение на 18: $18x^2 \equiv 324 \pmod n$. Умножим второе уравнение на $x$: $18x^2 \equiv 77x \pmod n$. Значит, $77x \equiv 324 \pmod n$. Теперь у нас есть: $18x \equiv 77 \pmod n$ $77x \equiv 324 \pmod n$ Исключим $x$ еще раз, умножив первое уравнение на 77, а второе на 18: $77 \cdot 18x \equiv 77 \cdot 77 \pmod n \Rightarrow 1386x \equiv 5929 \pmod n$ $18 \cdot 77x \equiv 18 \cdot 324 \pmod n \Rightarrow 1386x \equiv 5832 \pmod n$ Вычтем одно из другого: $0 \equiv 5929 - 5832 \pmod n$ $0 \equiv 97 \pmod n$ Это значит, что $n$ является делителем числа 97. Так как 97 — простое число, а $n > 77$, единственный возможный вариант — $n = 97$. Проверка: $x^2 \equiv 18 \pmod{97}$ при $x = 42$, $42^2 = 1764 = 18 \cdot 97 + 18$. Условие выполняется. **Ответ: 97**