85. В треугольнике ABC AC = AB = 12 м, PABC = 32 м, AK — высота треугольника. Найдите отрезок CK.

**85.** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC=12$ м) периметр $P = AB + AC + BC = 32$ м. $12 + 12 + BC = 32 \implies 24 + BC = 32 \implies BC = 8$ м. Так как $AB=AC$, высота $AK$ является медианой. Значит, $CK = \frac{1}{2} BC = \frac{8}{2} = 4$ м. **Ответ:** 4 м. **86.** В равностороннем треугольнике биссектриса является и медианой. Если $CK$ — биссектриса, то $K$ — середина $AB$. $AB = AK + KB = 7,5 + 7,5 = 15$ см. Периметр $P = 3 \cdot AB = 3 \cdot 15 = 45$ см. **Ответ:** 45 см. **87.** $ABC$ — равнобедренный ($AB=BC$), значит $\angle A = \angle C$. а) $\Delta ABK = \Delta CBM$ по двум сторонам и углу между ними ($AB=BC$, $\angle A=\angle C$, $AK=CM$). Следовательно, $BK=BM$, значит $\Delta KBM$ равнобедренный. б) Если $AM=CK$, то $AB-AM = BC-CK \implies BM=BK$. Значит, $\Delta KBM$ равнобедренный. в) $\Delta ABK = \Delta CBM$ по стороне и двум прилежащим углам ($AB=BC$, $\angle A=\angle C$, $\angle ABK = \angle CBM$). Значит, $BK=BM$, $\Delta KBM$ равнобедренный. **88.** В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, отсекает равнобедренный треугольник, вершиной которого является вершина исходного треугольника. **89.** Прямое утверждение: в равностороннем треугольнике все углы равны. Обратное: если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний. Доказательство обратного: пусть $\angle A = \angle B = \angle C = x$. Сумма углов $3x = 180^\circ \implies x = 60^\circ$. Если все углы равны, то против равных углов лежат равные стороны, значит $AB=BC=AC$. Треугольник равносторонний.