Стороны равностороннего треугольника АВС продлены на отрезки АМ, СР и ВК так, что МА : АВ = РС : АС = ВК : СВ = 2 : 1. Докажите, что треугольник МРК равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник MPK равносторонний, воспользуемся равенством треугольников. ### Дано - $\triangle ABC$ — равносторонний (все стороны равны: $AB=BC=AC=a$). - Стороны продлены: $AM, CP, BK$. - Отношение: $MA:AB = PC:AC = BK:CB = 2:1$. Это значит, что $MA = PC = BK = 2a$. ### Доказательство 1. Рассмотрим углы при вершинах: - Угол $\angle MAC = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (как смежный). - Аналогично, $\angle PCB = 120^\circ$ и $\angle KBA = 120^\circ$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle MAP$, $\triangle PCK$ и $\triangle KBM$ (в задаче, судя по условию, рассматриваются треугольники, образующиеся при вершинах): - Сторона $MA = PC = BK = 2a$ (по условию). - Сторона $AP = AC + CP = a + 2a = 3a$. - Сторона $CK = CB + BK = a + 2a = 3a$. - Сторона $BM = BA + AM = a + 2a = 3a$. Получаем, что $MA=PC=BK=2a$ и $AP=CK=BM=3a$. 3. Рассмотрим $\triangle MAP, \triangle PCK, \triangle KBM$: - $MA = PC = BK = 2a$ - $AP = CK = BM = 3a$ - $\angle MAP = \angle PCK = \angle KBM = 120^\circ$ (смежные с углами равностороннего треугольника). Следовательно, треугольники $\triangle MAP, \triangle PCK$ и $\triangle KBM$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства). 4. Из равенства треугольников следует, что $MP = PK = KM$. Так как все стороны треугольника $MPK$ равны, то он является равносторонним. ### Рисунок Представьте треугольник ABC в центре. От вершины A проводим отрезок AM наружу (длиной 2 части), от C — CP наружу (2 части), от B — BK наружу (2 части). Соединяя концы M, P и K, получаем большой равносторонний треугольник.