50. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2,5. Найдите объём куба.

Question

Вопрос:

50. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2,5. Найдите объём куба.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Обозначим ребро куба за $a$. Объём куба равен $V_{куба} = a^3$. Рассмотрим вершину куба, из которой выходят три ребра. Плоскость проходит через середины двух ребер, выходящих из этой вершины, и параллельна третьему ребру. Эта плоскость отсекает от куба треугольную пирамиду (тетраэдр) с вершиной в этой точке. Однако в условии сказано "треугольная призма". Посмотрим на чертеж: плоскость отсекает не просто пирамиду, а отрезает кусок куба. По условию, эта фигура — треугольная призма. Рассмотрим отсекаемую часть подробнее: - В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $a/2$ и $a/2$, где $a$ — ребро куба. Площадь этого треугольника $S = 1/2 \cdot (a/2) \cdot (a/2) = a^2/8$. - Высота этой призмы равна $a$ (так как плоскость параллельна третьему ребру куба). - Объём такой призмы $V_{призмы} = S \cdot h = (a^2/8) \cdot a = a^3/8$. По условию задачи, объём этой призмы равен 2,5. $a^3/8 = 2,5$ $a^3 = 2,5 \cdot 8$ $a^3 = 20$ Так как $V_{куба} = a^3$, то объём куба равен 20. **Ответ: 20.**

Ответ ассистента

Другие решения