1. Нарисуйте окружность. Постройте прямоугольный треугольник, описанный около этой окружности.

1. Чтобы построить прямоугольный треугольник, описанный около окружности, нужно провести к окружности три касательные так, чтобы они образовали прямой угол. Две касательные, образующие прямой угол, будут катетами, а третья — гипотенузой. 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Центр $O$ и точка $C$ (вершина угла) образуют отрезок $CO$, который является частью биссектрисы угла $MCK$. Значит, $\angle MCO = \frac{1}{2} \angle MCK$. Следовательно, $\angle MCK = 2 \times \angle MCO = 2 \times 38^\circ = 76^\circ$. 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Пусть точки касания на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ — это $D, E, F$ соответственно. - $CF = CE = 2$ см. - $AF = AD = 3$ см. - $BC = 3$ см, тогда $BE = BC - CE = 3 - 2 = 1$ см. Так как $BE = BD$, то $BD = 1$ см. - Периметр $P = AB + BC + AC = (AD + DB) + BC + (AF + FC) = (3 + 1) + 3 + (3 + 2) = 4 + 3 + 5 = 12$ см. 4. В описанной трапеции суммы противоположных сторон равны. Сумма оснований равна сумме боковых сторон. $a + b = c + d$. Так как трапеция равнобедренная, то $c = d$. Значит, сумма боковых сторон $2c = 20$. Отсюда боковая сторона $c = 10$ см. 5. Радиус вписанной в квадрат окружности $r = 4,5$ см. Сторона квадрата $a = 2r = 2 \times 4,5 = 9$ см. Площадь квадрата $S = a^2 = 9^2 = 81$ см$^2$.