21.2. По данным рисунков 166, а), б) найдите периметр треугольника ABC.

Для решения задачи воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам (или по углу и пропорциональным сторонам). Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны. а) Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FDC$ (или $\triangle FDB$, но здесь мы видим $\triangle ABC$ и $\triangle FDC$ со сторонами $AC=12$, $CD=8$, $FC$ - общая часть стороны $AC$, и стороны $AF, FD$). На самом деле, здесь $\triangle FDC \sim \triangle ABC$. У них общий угол $C$ и $\angle CFD = \angle CAB = 47^\circ$. Отношение сторон: $CD / CA = FD / AB = FC / CB$. Подставим известные значения: $8 / 12 = 2/3$. Значит, $k = 2/3$. $FD / AB = 2/3 \Rightarrow 5 / AB = 2/3 \Rightarrow AB = 15$. $FC / CB = 2/3 \Rightarrow FC / (FC + 5) = 2/3 \Rightarrow 3FC = 2FC + 10 \Rightarrow FC = 10$. Тогда $CB = 10 + 5 = 15$. Периметр $ABC = AC + CB + AB = 12 + 15 + 15 = 42$. б) Аналогично, $\triangle FDC \sim \triangle ABC$. У них общий угол $C$ и $\angle CFD = \angle CBA = 54^\circ$ (соответственные углы при параллельных прямых или подобие треугольников). Отношение сторон: $CF / CB = CD / CA = FD / AB$. $10 / 28 = 16 / AC$. $AC = 16 * 28 / 10 = 448 / 10 = 44,8$. $FD / AB = 10 / 28 = 5 / 14$. $FD / 12 = 5 / 14 \Rightarrow FD = 60 / 14 = 30/7 \approx 4,28$. (Здесь вероятно опечатка в условии на картинке, так как обычно стороны целые, перепроверим пропорцию: если $CF/CA = CD/CB$, то $10 / (10+16) = CD / CB = 10/26 = 5/13$. Значит, стороны $AC = 10+16 = 26$ или другие соотношения). Исходя из стандартной геометрии подобия для этой задачи: $AC = 10 + 16 = 26$. $CB = 28$. Коэффициент $k = CF / AC = 10 / 26 = 5/13$. $CD / BC = 5/13 \Rightarrow CD / 28 = 5/13 \Rightarrow CD = 140/13 \approx 10,77$. $FD / AB = 5/13 \Rightarrow 16 / AB = 5/13 \Rightarrow AB = 208 / 5 = 41,6$. Периметр $ABC = 26 + 28 + 41,6 = 95,6$.