Решить систему уравнений: { x^2 - y = 2, x^2 - y^2 = 16 }, { x^2 + xy = 10, x^2 + xy = 15 }, { x + y + xy = 11, x^2 y + xy^2 = 30 }

Давай решим предложенные системы уравнений. ### Уровень А Система: $\begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases}$ 1. Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y + 2$ 2. Подставим во второе уравнение: $(y + 2) - y^2 = 16$ $-y^2 + y + 2 - 16 = 0$ $-y^2 + y - 14 = 0$ $y^2 - y + 14 = 0$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 1 - 56 = -55$. Так как $D < 0$, действительных решений нет. **Ответ:** Решений в действительных числах нет. ### Уровень B Система: $\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ x^2 + xy = 15 \end{cases}$ Заметим, что левые части уравнений одинаковы: $x^2 + xy$. Если $x^2 + xy = 10$ и одновременно $x^2 + xy = 15$, то $10 = 15$, что невозможно. **Ответ:** Решений нет. ### Уровень C Система: $\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2 y + xy^2 = 30 \end{cases}$ 1. Преобразуем второе уравнение: $xy(x + y) = 30$. 2. Пусть $u = x + y$, $v = xy$. Тогда система примет вид: $\begin{cases} u + v = 11 \\ uv = 30 \end{cases}$ 3. По теореме Виета $u$ и $v$ — корни уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$. $(t - 5)(t - 6) = 0$, откуда $t_1 = 5, t_2 = 6$. Случай 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$. Корни: $(2; 3)$ и $(3; 2)$. Случай 2: $\begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$. Корни: $(1; 5)$ и $(5; 1)$. **Ответ:** $(2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1)$.