Любые три соседние цифры числа делятся на 132 или 123. Какое наибольшее количество цифр может иметь это число?

Пусть число состоит из цифр $d_1 d_2 d_3 \dots d_n$. Любые три соседние цифры образуют трехзначное число, которое делится на $132$ или $123$. 1. Числа, делящиеся на $132$: $132, 264, 396, 528, 660, 792, 924$. 2. Числа, делящиеся на $123$: $123, 246, 369, 492, 615, 738, 861, 984$. Рассмотрим переходы между возможными тройками: - Если у нас есть тройка $abc$, то следующая тройка $bcd$ должна удовлетворять условию. Например, после $132$ может идти $324$ (не подходит), $328$ (подходит, т.к. $328/132$ нет, но $328$ не делится на $123$). - Проверим последовательность: допустим, первая тройка $132$. Следующая тройка должна начинаться на $32$ и быть кратна $132$ или $123$. Числа: $32\dots$ нет таких, делящихся на $132$ или $123$. - Допустим, первая тройка $123$. Следующая тройка должна начинаться на $23$ и быть кратна $132$ или $123$. Чисел нет. - Попробуем $246$: следующая должна быть $46\dots$. Нет. - Попробуем $396$: следующая $96\dots$. Нет. - Попробуем $924$: следующая $24\dots$ (например, $246$ делится на $123$). Значит, можно продолжить: $9246$. - Проверим $9246$: первая тройка $924$ (делится на $132$), вторая $246$ (делится на $123$). - Следующая должна начинаться на $46\dots$. Нет таких. Проверим цепочку $615$: следующая $15\dots$ нет. Проверим $984$: следующая $84\dots$ нет. Проверим $528$: следующая $28\dots$ нет. Рассмотрим все возможные переходы: - $132 \to$ нет - $123 \to$ нет - $246 \to$ нет - $396 \to$ нет - $528 \to$ нет - $660 \to$ нет - $792 \to$ $924$ ($792$ на $132$, $924$ на $132$) $ o 246$ ($246$ на $123$). Итого: $79246$. - $9246$ - проверим: $792$ (дел на $132$), $924$ (дел на $132$), $246$ (дел на $123$). Длина 5. - Попробуем расширить: $79246\dots$ нужно число на $46$, таких нет. Проверка всех вариантов показывает, что максимальная длина цепочки — 5 цифр (например, $79246$). Ответ: 5