Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под предельный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка.

Пусть $x$ — процентная ставка в Сбербанке (в долях, т.е. если банк дает 5%, то $x = 0,05$). Тогда ставка в коммерческом банке равна $20x$. 1. Пусть первоначальная сумма вклада равна $S$. Через год в Сбербанке сумма стала $S(1+x)$. 2. Баба Валя сняла половину этой суммы: $0,5S(1+x)$. Вторая половина $0,5S(1+x)$ осталась лежать на вкладе (но в условии сказано, что она сняла половину и открыла счет в другом банке, значит, вся сумма $0,5S(1+x)$ перешла в коммерческий банк). 3. В коммерческом банке эта сумма пролежала еще год под ставкой $20x$, значит, она увеличилась в $(1+20x)$ раз: $0,5S(1+x) \cdot (1+20x)$. 4. По условию, через год эта сумма превысила первоначальные сбережения ($S$) на 65%, то есть стала равна $1,65S$: $0,5S(1+x)(1+20x) = 1,65S$. 5. Разделим обе части на $0,5S$: $(1+x)(1+20x) = 3,3$. $1 + 20x + x + 20x^2 = 3,3$. $20x^2 + 21x - 2,3 = 0$. 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 21^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-2,3) = 441 + 184 = 625 = 25^2$. $x_1 = (-21 + 25) / (2 \cdot 20) = 4 / 40 = 0,1$. $x_2$ — отрицательный корень, не подходит. 7. Ставка $x = 0,1$, что соответствует 10%. Ответ: 10