В трапеции ABCD основания BC = 2 см и AD = 6 см, диагонали пересекаются в точке O (см. рисунок). Найдите такое число x, при котором OA = x · OC.

### B1 **Дано:** Трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$ (так как $BC$ и $AD$ — основания). $BC = 2$ см, $AD = 6$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. **Найти:** Число $x$ в соотношении $OA = x \cdot OC$. **Решение:** 1. Так как $BC \parallel AD$, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). 2. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{6}{2} = 3$. 3. Значит, все соответствующие стороны относятся как 3:1. Отношение отрезков диагоналей равно отношению оснований: $\frac{OA}{OC} = \frac{AD}{BC} = 3$. 4. Отсюда получаем: $OA = 3 \cdot OC$. Значит, $x = 3$. **Ответ: 3** ### B2 **Дано:** Окружность с радиусом $R = 2,5$ см. Вписан треугольник $ABC$, где $AB$ — диаметр окружности. $CB = 4$ см. **Найти:** Площадь $\triangle ABC$. **Решение:** 1. Если $AB$ является диаметром, то треугольник $ABC$ — прямоугольный (угол $C = 90^\circ$, так как он опирается на диаметр). 2. Диаметр $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 2,5 = 5$ см. 3. По теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle ABC$ найдем катет $AC$: $AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см. 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$. **Ответ: 6** ### B3 **Дано:** Окружность с центром $O$. $MN, MK, AB$ — касательные к окружности. $N, K, C$ — точки касания. Периметр $\triangle MAB = 18$ см. **Найти:** Длину отрезка $MK$. **Решение:** 1. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: $MN = MK$ (из точки $M$), $AN = AC$ (из точки $A$), $BC = BK$ (из точки $B$). 2. Периметр $\triangle MAB = MA + AB + MB = MA + (AC + CB) + MB$. 3. Заменим $AC$ на $AN$ и $CB$ на $BK$: $P = MA + AN + BK + MB = (MA + AN) + (MB + BK)$. 4. Так как $MA + AN = MN$ и $MB + BK = MK$, получаем: $P = MN + MK$. 5. Так как $MN = MK$, то $P = 2 \cdot MK$. 6. $18 = 2 \cdot MK \Rightarrow MK = 9$ см. **Ответ: 9**