7.4. 1) На рисунке 42 равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC. Докажите, что ∠BAD = ∠BCD.

Решение задания 7.4: 1) Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — равнобедренные, $AB=BC$, $AD=DC$. Доказать: $\angle BAD = \angle BCD$. Доказательство: 1. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. 2. $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ равнобедренный). 3. $AD = DC$ (по условию, так как $\triangle ADC$ равнобедренный). 4. $BD$ — общая сторона. 5. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle BCD$. Что и требовалось доказать. 2) *Комментарий: В условии 7.4.2 есть опечатка: высота $AH$ треугольника с основанием $BC$ означает, что $AB=AC$. Полагаю, что доказать нужно $BM=CM$ (треугольник $BMC$ равнобедренный), исходя из свойств высоты равнобедренного треугольника.* Доказательство: 1. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=AC$) высота $AH$, проведённая к основанию $BC$, является также медианой и биссектрисой. 2. Значит, $H$ — середина $BC$, то есть $BH = HC$. 3. Рассмотрим $\triangle BMH$ и $\triangle CMH$: - $BH = HC$ (доказано выше). - $\angle BHM = \angle CHM = 90^\circ$ (так как $AH \perp BC$). - $MH$ — общая сторона. 4. $\triangle BMH = \triangle CMH$ по двум катетам. 5. Из равенства треугольников следует $BM = CM$. 6. Так как $BM = CM$, то $\triangle BMC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Решение задания 7.6: 1) Дано: $\triangle PRT$ — равнобедренный ($PR=RT$), $CO$ — высота к $PT$, $PB=TA$. Доказать: $\angle PBO = \angle TAO$. Доказательство: 1. В равнобедренном $\triangle PRT$ ($PR=RT$) высота $CO$ (здесь, вероятно, опечатка и высота проведена из вершины $R$ к основанию $PT$, обозначим её $RH$) делит основание пополам, то есть $PH=HT$. 2. В условии сказано $PB=TA$ и, учитывая симметрию относительно высоты, $PO=OT$. 3. Треугольники $\triangle PBO$ и $\triangle TAO$ равны по двум сторонам и углу между ними ($PB=TA$, $PO=OT$ и $\angle P = \angle T$ как углы при основании равнобедренного $\triangle PRT$). 4. Из равенства треугольников следует $\angle PBO = \angle TAO$.