Сократите дробь: 2a^2+9a-5/a^2-25

Номер 2. Сократите дробь: $\frac{2a^2+9a-5}{a^2-25}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: 1) Числитель: $2a^2+9a-5$. Найдем корни уравнения $2a^2+9a-5=0$. Дискриминант $D = 81 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$. Корни $a_1 = \frac{-9+11}{4} = 0,5$, $a_2 = \frac{-9-11}{4} = -5$. Разложение: $2(a-0,5)(a+5) = (2a-1)(a+5)$. 2) Знаменатель: $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. Итого: $\frac{(2a-1)(a+5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{2a-1}{a-5}$ (при $a \neq -5, a \neq 5$). Остальные задания: 1. Вычислите: $\sqrt{48}(\sqrt{3}+\sqrt{6}) - 26(\frac{1}{26} - 2\sqrt{13}) - 4\sqrt{18}$. $\sqrt{144} + \sqrt{288} - 1 + 52\sqrt{13} - 4\sqrt{18} = 12 + 12\sqrt{2} - 1 + 52\sqrt{13} - 12\sqrt{2} = 11 + 52\sqrt{13}$. 3. Область определения: $y = \sqrt{-3x^2+x+14} / (4x-5)$. $-3x^2+x+14 \ge 0$ и $4x-5 \neq 0$. Корни числителя $-2$ и $7/3$. Решение неравенства: $x \in [-2; 7/3]$. Исключаем $x = 1,25$. Ответ: $[-2; 1,25) \cup (1,25; 7/3]$. 4. $|2x-3|=3x+1$. Случай 1: $2x-3 = 3x+1 \Rightarrow x = -4$ (не подходит, так как $3(-4)+1 < 0$). Случай 2: $2x-3 = -3x-1 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = 0,4$ (подходит). Ответ: 0,4. 5. $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}$. Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. $x(x-2) + (x+2)^2 = 8$. $x^2-2x + x^2+4x+4 = 8 \Rightarrow 2x^2+2x-4=0 \Rightarrow x^2+x-2=0$. Корни: $1$ и $-2$. Так как $x \neq \pm 2$, ответ: 1. 6. $|3x-1|>2x+4$. $3x-1 > 2x+4 \Rightarrow x > 5$. $3x-1 < -2x-4 \Rightarrow 5x < -3 \Rightarrow x < -0,6$. Ответ: $x \in (-\infty; -0,6) \cup (5; +\infty)$. 7. $\frac{6}{a-1} : \frac{10}{(a-1)^2} : \frac{2a+2}{a-1} = \frac{6}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{10} \cdot \frac{a-1}{2(a+1)} = \frac{6(a-1)^2(a-1)}{20(a-1)(a+1)} = \frac{3(a-1)^2}{10(a+1)}$. 8. $3x_1 - 6x_1x_2 + 3x_2 = 3(x_1+x_2) - 6(x_1x_2) = 3(-8) - 6(1) = -24-6 = -30$. 9. $\sqrt{(2-x)^2} + \sqrt{(5-x)^2} = |2-x| + |5-x|$. Для $2 \le x \le 5$: $(x-2) + (5-x) = 3$. 11. После упрощения дробь примет вид $2\sqrt{x} + 5\sqrt{x} = 7\sqrt{x}$. 12. $2x^3+3x^2-10x^2+2 = 2x^3-7x^2+2 = 0$. (Корней нет в целых числах). 13. $t_{туда} = 55/(v+5)$, $t_{обратно} = 55/(v-5)$. Плот проплыл 108 км за 2 часа $\Rightarrow v_{теч}=5$ км/ч (уже дано). Уравнение: $55/(v+5) + 55/(v-5) = 2$ (с учетом 2 часов разницы). Решение: $v=60$ км/ч. 14. $(a+5)x^2-7x+2=0$ имеет один корень при $D=0$ или $a+5=0$. $D = 49 - 8(a+5) = 0 \Rightarrow 49 - 8a - 40 = 0 \Rightarrow 8a=9 \Rightarrow a=1,125$. Если $a=-5$, уравнение $-7x+2=0 \Rightarrow x=2/7$. Ответ: $1,125; -5$. 15. Постройте $y = |5|x-3| - x^2 + 7x - 12|$. (Требует построения графика).