Найдите PQ.

1. Рассмотрим треугольник $PSR$. Он прямоугольный (угол $S = 90^\circ$), в нем $PS = 7$. Угол $PRQ = 120^\circ$. Так как точки $S, R, Q$ лежат на одной прямой, то угол $PRS$ смежный с углом $PRQ$. Угол $PRS = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике $PSR$: угол $SPR = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2. Против угла в $30^\circ$ в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы, но здесь нам удобнее найти $PR$. В прямоугольном треугольнике $PSR$ катет $PS = 7$ лежит против угла $60^\circ$, а $SR$ против $30^\circ$. Но для 7 класса проще использовать определение косинуса или заметить, что это «египетский» или стандартный угол. На самом деле, задача на знание того, что $PR = PS / \sin(60^\circ)$ или использование свойств равнобедренного треугольника. 3. В условии указано, что $PR = RQ$ (отмечено черточками). Значит, треугольник $PRQ$ равнобедренный с основанием $PQ$. Угол при вершине $R$ равен $120^\circ$. Тогда углы при основании $P$ и $Q$ равны: $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 4. Проведем высоту $RH$ из точки $R$ на сторону $PQ$. В равнобедренном треугольнике она является медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PSR$. Мы уже выяснили, что угол $PRS = 60^\circ$ (как смежный с $120^\circ$). 5. Если $PS=7$ и угол $SPR=30^\circ$, то гипотенуза $PR = 7 / \cos(30^\circ) = 7 / (\sqrt{3}/2) = 14/\sqrt{3}$. Это требует корней. Поскольку в условии «без корней» и это 7 класс, возможно, в условии опечатка или подразумевается другой подход. Если угол $PRS$ был бы $60$ градусов, а треугольник $PSR$ прямоугольный, то $PR = 14$ (гипотенуза в 2 раза больше катета против угла 30 градусов). Тогда в равнобедренном треугольнике $PRQ$ с углом $120$ градусов и боковой стороной $14$, основание $PQ = 2 * 14 * \cos(30) = 14\sqrt{3}$. Вероятно, имелось в виду, что $PR = PS / \cos(60) = 14$. Если $PR=14$, то $PQ$ в равнобедренном треугольнике можно найти только через косинус (тригонометрию), которая в 7 классе обычно не изучается. Ответ без корней в такой геометрии получить невозможно, если стороны не пифагоровы тройки.