В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Найдите sin A, если...

Решения задач с листа: 1. В треугольнике ABC AB = BC (равнобедренный), AB = 10, AC = 16. Проведем высоту BH к основанию AC. BH делит AC пополам, поэтому AH = 8. По теореме Пифагора из треугольника ABH: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$. Тогда $\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. 2. Высота h равностороннего треугольника со стороной a равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a = 7\sqrt{3}$: $h = \frac{7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$. 3. При $a = 4\sqrt{3}$: $h = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. 4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90°) $\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}$. Имеем $0,25 = \frac{BC}{10} \Rightarrow BC = 0,25 \cdot 10 = 2,5$. 5. В прямоугольном треугольнике ABC $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$. Дано $AB=25$, тогда $\frac{BC}{25} = \frac{4}{5} \Rightarrow BC = 20$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$. 6. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Углы относятся как $3:6:11$. Пусть $3x, 6x, 11x$ — углы. $3x+6x+11x = 180 \Rightarrow 20x = 180 \Rightarrow x = 9$. Меньший угол: $3 \cdot 9 = 27^\circ$. 7. $AC=BC$ (равнобедренный), $AB=18$, $\operatorname{tg} A = \frac{\sqrt{7}}{3}$. Проведем высоту $CH$ к $AB$. В $\triangle AHC$: $\operatorname{tg} A = \frac{CH}{AH}$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $CH$ — медиана, $AH = \frac{AB}{2} = 9$. Тогда $\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CH}{9} \Rightarrow CH = 3\sqrt{7}$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{7})^2} = \sqrt{81 + 63} = \sqrt{144} = 12$. 8. $AC=1, BC=\sqrt{99}$. Гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{99})^2} = \sqrt{1+99} = 10$. $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{10} = 0,1$. 9. Углы относятся как $2:4:9$. $2x+4x+9x = 180 \Rightarrow 15x = 180 \Rightarrow x = 12$. Меньший угол: $2 \cdot 12 = 24^\circ$. 10. В $\triangle ABC$ ($C=90^\circ$), $CH \perp AB$. В $\triangle ACH$ ($\angle H=90^\circ$): $\sin A = \frac{CH}{AC}$. Также $\triangle ACH \sim \triangle ABC$. Значит, $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{6}$. $BC = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30$. $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{36^2 - 30^2} = \sqrt{1296 - 900} = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}$. В $\triangle ACH$: $AH = AC \cdot \cos A = AC \cdot \sqrt{1-\sin^2 A} = 6\sqrt{11} \cdot \sqrt{1 - (5/6)^2} = 6\sqrt{11} \cdot \sqrt{11/36} = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11$. 11. $AB=27$, $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. В прямоугольном треугольнике $AC = AB \cdot \cos A = AB \cdot \sqrt{1 - \sin^2 A} = 27 \cdot \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = 27 \cdot \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = 27 \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$. 12. Углы $3:4:8$. $3x+4x+8x = 180 \Rightarrow 15x = 180 \Rightarrow x = 12$. Меньший угол: $3 \cdot 12 = 36^\circ$.