1.23. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN. Найти радиус окружности, проходящей через точки B, M и N, если AC = a и ∠ABC = α.

Дано: Треугольник $ABC$ — остроугольный. $AM$ и $CN$ — высоты ($M \in BC$, $N \in AB$). $AC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найти: радиус $R$ окружности, проходящей через точки $B, M, N$. Решение: 1. Заметим, что точки $M$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC$. Также углы $\angle BMC = 90^\circ$ и $\angle BNC = 90^\circ$ (или $\angle AN C = 90^\circ$ и $\angle AMC = 90^\circ$), что означает, что точки $M$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC$. 2. Рассмотрим четырехугольник $BMNC$. Так как $\angle BNC = \angle BMC = 90^\circ$, точки $B, N, M, C$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $BC$. Однако нам нужна окружность, проходящая через $B, M, N$. Это окружность, описанная около треугольника $BMN$. 3. В треугольнике $ABC$ отрезок $AC = a$ и угол $\angle B = \alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$, описанная окружность имеет радиус $R_{ABC} = \frac{AC}{2 \sin \alpha} = \frac{a}{2 \sin \alpha}$. 4. Рассмотрим треугольник $BMN$. Из подобия треугольников $BMN$ и $BAC$ (так как $\angle B$ общий, а $\angle BNM = \angle BCA$): отношение сторон $\frac{MN}{AC} = \cos B = \cos \alpha$. Следовательно, сторона $MN = AC \cos \alpha = a \cos \alpha$. 5. Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $BMN$, по теореме синусов: $2R = \frac{MN}{\sin(\angle MBN)}$. Угол $\angle MBN = \angle ABC = \alpha$. Таким образом, $2R = \frac{a \cos \alpha}{\sin \alpha} = a \operatorname{ctg} \alpha$. 6. Отсюда $R = \frac{a \operatorname{ctg} \alpha}{2}$. Ответ: $\frac{a \operatorname{ctg} \alpha}{2}$.