3) Найти: AE (рис. 4.136). 4) Найти: ∠B, ∠D (рис. 4.137). 5) Найти: CE, ∠C (рис. 4.138).

3) На рис. 4.136 дан треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Внутри треугольника есть точка E на стороне AC. Известно, что EC = 7, $\angle A = 30^\circ$, $\angle BEC = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник BEC: $\angle C = 90^\circ$, $\angle BEC = 60^\circ$, следовательно, $\angle EBC = 30^\circ$. Так как катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы, или через тангенс: $BC = EC / \tan(60^\circ) = 7 / \sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник ABC: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Тогда $\tan(30^\circ) = BC / AC$. $AC = BC / \tan(30^\circ) = (7 / \sqrt{3}) / (1 / \sqrt{3}) = 7$. $AE = AC - EC = 7 - 7 = 0$. *Примечание:* Судя по рисунку, E лежит на AC, но вычисления показывают, что E совпадает с A. Вероятно, в условии опечатка в значениях, но по данным расчетам AE = 0. 4) На рис. 4.137 треугольник ABD, AC — высота (перпендикуляр) к BD. Даны стороны AD = 7, CD = 3,5, AB = 7. Так как AC $\perp$ BD, треугольник ACD — прямоугольный. В треугольнике ACD: по теореме Пифагора $AC^2 + CD^2 = AD^2 \Rightarrow AC^2 + 3,5^2 = 7^2 \Rightarrow AC^2 = 49 - 12,25 = 36,75 \Rightarrow AC = \sqrt{36,75} = \sqrt{147/4} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$. Треугольник ABC — прямоугольный (т.к. AC $\perp$ BD). $AB=7$, $AC = 3,5\sqrt{3}$. $\sin(\angle B) = AC / AB = (3,5\sqrt{3}) / 7 = \sqrt{3}/2$. Значит, $\angle B = 60^\circ$. В треугольнике ABD: $\angle D = 180^\circ - \angle BAD - \angle B$. В прямоугольном треугольнике ACD: $\cos(\angle D) = CD / AD = 3,5 / 7 = 0,5$. Значит, $\angle D = 60^\circ$. Ответ: $\angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ$. 5) На рис. 4.138: $\angle KPC$ — внешний угол для треугольника PKC. Угол $\angle KPC = 150^\circ$, тогда внутренний угол $\angle KCP = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике KCE (угол C прямой, так как смежный с $\angle KCP$ или по чертежу): если угол при вершине E равен $90^\circ$ (квадратик), то $\angle KEC = 90^\circ$. Треугольник KCE: $\angle C = 90^\circ, \angle E = 90^\circ$ — невозможно для обычного треугольника. Скорее всего, $\angle KCE = 90^\circ$ (по чертежу), тогда $\angle EKC = 180^\circ - 90^\circ - \angle KEC$. Если же прямоугольный треугольник KCE имеет $\angle KEC = 90^\circ$ и $KC=9$, а $\angle C = 30^\circ$, то $KE = KC \cdot \sin(30^\circ) = 9 \cdot 0,5 = 4,5$. $CE = KC \cdot \cos(30^\circ) = 9 \cdot (\sqrt{3}/2) = 4,5\sqrt{3}$.