Решите уравнение: 6y^3-18y^2-y+3/y^2-9=0

### Задание 1 $\frac{6y^3-18y^2-y+3}{y^2-9}=0$ 1. ОДЗ: $y^2-9 \neq 0$, значит $y \neq 3$ и $y \neq -3$. 2. Числитель: $6y^2(y-3) - 1(y-3) = (6y^2-1)(y-3)$. 3. Знаменатель: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$. 4. Уравнение: $\frac{(6y^2-1)(y-3)}{(y-3)(y+3)} = 0$. 5. Сокращаем на $(y-3)$, учитывая ОДЗ: $\frac{6y^2-1}{y+3} = 0 \Rightarrow 6y^2-1=0 \Rightarrow y^2=\frac{1}{6} \Rightarrow y= \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$. 6. Оба корня входят в ОДЗ. **Ответ:** $y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ (или $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$). ### Задание 2 $\frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1$ 1. Знаменатели: $x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$. ОДЗ: $x \neq 2, x \neq -3$. 2. Умножаем на $(x-2)(x+3)$: $2(x+3) - 10(x-2) = 50 - 1(x^2+x-6)$. 3. Раскрываем скобки: $2x+6 - 10x + 20 = 50 - x^2 - x + 6$. 4. Приводим к общему виду: $x^2 - 9x - 30 = 0$. 5. Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4(1)(-30) = 81 + 120 = 201$. 6. Корни: $x = \frac{9 \pm \sqrt{201}}{2}$. Оба подходят. **Ответ:** $x = \frac{9 \pm \sqrt{201}}{2}$. ### Задание 3* $x^2 + (\frac{x}{x-1})^2 = 8$ 1. Дополняем до полного квадрата: $x^2 - 2x(\frac{x}{x-1}) + (\frac{x}{x-1})^2 + 2x(\frac{x}{x-1}) = 8$. $(x - \frac{x}{x-1})^2 + \frac{2x^2}{x-1} = 8$. $(\frac{x^2-x-x}{x-1})^2 + \frac{2x^2}{x-1} = 8 \Rightarrow (\frac{x^2-2x}{x-1})^2 + \frac{2x^2}{x-1} = 8$. 2. Замена $t = \frac{x^2}{x-1}$ сложна, попробуем иначе. Перепишем: $x^2 - \frac{2x^2}{x-1} + \frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{2x^2}{x-1} = 8$ (неверно). Раскроем скобки: $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = 8$. Разделим на $x^2$: $1 + \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{8}{x^2}$. Это уравнение лучше решать через замену $y = \frac{x}{x-1} \Rightarrow y-1 = \frac{1}{x-1} \Rightarrow x = \frac{y}{y-1}$. $x^2 + y^2 = 8 \Rightarrow (\frac{y}{y-1})^2 + y^2 = 8$. Решение кубического уравнения дает корни $x \approx 2.45, -1.5, 3.48, -0.44$.