22 S_ABC - ?

Да, задачи можно решить без дополнительных построений, используя свойства касательных к окружности и тригонометрические функции. Дополнительные построения (например, радиусы в точки касания) уже обозначены на чертежах. ### Задача 22 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $r = \sqrt{3}$. 1. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $M$ — точка касания на $AC$. Радиус $OM = \sqrt{3}$. Проведем $OK \perp BC$. Тогда $CKOM$ — квадрат со стороной $\sqrt{3}$. 2. $\angle ABC = 60^\circ$, значит $\angle CBO = 30^\circ$ (центр вписанной окружности лежит на биссектрисе). 3. В $\triangle CBO$: $CO = \frac{OM}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{0.5} = 2\sqrt{3}$. 4. По теореме Пифагора $CM = \sqrt{CO^2 - OM^2} = \sqrt{12 - 3} = 3$. 5. Так как $CM = CK = \sqrt{3}$, то $AC = AM + CM$. По свойству отрезков касательных $AM = AB - BM = AB - BK$. Это сложнее. Проще через формулу $r = \frac{a+b-c}{2}$. $r = \frac{BC + AC - AB}{2} = \sqrt{3}$. $BC = CK + KB = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3} + 3$. $AC = AM + MC = (AB - BC + AC)/2 + r$. Так как $\angle A = 30^\circ$, то $BC = AC \tan 30^\circ \implies AC = BC \sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3}$. $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (3 + 3\sqrt{3}) (\sqrt{3} + 3) = \frac{1}{2} (3\sqrt{3} + 9 + 9 + 9\sqrt{3}) = \frac{18 + 12\sqrt{3}}{2} = 9 + 6\sqrt{3}$. **Ответ: $9 + 6\sqrt{3}$** ### Задача 23 Аналогична 22. Если $\angle M = 60^\circ$ и $r = \sqrt{3}$, то $\angle KML = 30^\circ$. В треугольнике $MLK$: $ML = \frac{LK}{\tan 60^\circ}$. По формуле $r = \frac{ML + LK - MK}{2}$. Это стандартная задача на нахождение отрезков касательных, где $ML = r \cdot \cot(\angle M/2) = \sqrt{3} \cdot \cot(30^\circ) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. **Ответ: 3** ### Задача 24 Дано: $BC=20, AB=10, AC=24$. Найти $BM$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки: $BK = BM = x$ $AK = AN = y$ $CM = CN = z$ Тогда имеем систему уравнений: 1. $x + y = AB = 10$ 2. $y + z = AC = 24$ 3. $x + z = BC = 20$ Сложим все уравнения: $2(x+y+z) = 10+24+20 = 54$, откуда $x+y+z = 27$. $BM = x = (x+y+z) - (y+z) = 27 - 24 = 3$. **Ответ: 3**