203. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии 14, 9, 4, ... .

203. Арифметическая прогрессия: 14, 9, 4, ... Первый член $a_1 = 14$, разность $d = 9 - 14 = -5$. Сумма $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Для $n=40$: $S_{40} = \frac{2 \cdot 14 + (-5)(40-1)}{2} \cdot 40 = (28 - 195) \cdot 20 = -167 \cdot 20 = -3340$. Ответ: -3340. 204. $a_n = 0,4n + 5$. $a_1 = 0,4(1) + 5 = 5,4$. $a_{36} = 0,4(36) + 5 = 14,4 + 5 = 19,4$. Сумма $S_{36} = \frac{a_1 + a_{36}}{2} \cdot 36 = \frac{5,4 + 19,4}{2} \cdot 36 = 24,8 \cdot 18 = 446,4$. Ответ: 446,4. 205. 1) $a_1 = 6$, $a_{13} = 42$. $a_{13} = a_1 + 12d \Rightarrow 42 = 6 + 12d \Rightarrow 36 = 12d \Rightarrow d = 3$. $S_{10} = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2(6) + 3(9)}{2} \cdot 10 = (12 + 27) \cdot 5 = 39 \cdot 5 = 195$. 2) $a_6 = 45$, $a_{14} = -43$. $a_{14} - a_6 = 8d \Rightarrow -43 - 45 = 8d \Rightarrow -88 = 8d \Rightarrow d = -11$. $a_1 = a_6 - 5d = 45 - 5(-11) = 45 + 55 = 100$. $S_{10} = \frac{2(100) + (-11)(9)}{2} \cdot 10 = (200 - 99) \cdot 5 = 101 \cdot 5 = 505$. Ответ: 1) 195; 2) 505. 206. $a_{17} = 84$, $d = 6,5$. $a_{17} = a_1 + 16d \Rightarrow 84 = a_1 + 16(6,5) \Rightarrow 84 = a_1 + 104 \Rightarrow a_1 = -20$. $S_{17} = \frac{2(-20) + 6,5(16)}{2} \cdot 17 = \frac{-40 + 104}{2} \cdot 17 = 32 \cdot 17 = 544$. Ответ: 544. 207. $a_7 + a_{13} = 21 \Rightarrow a_1+6d + a_1+12d = 21 \Rightarrow 2a_1 + 18d = 21$. $a_8 + a_{12} - a_{15} = 3 \Rightarrow a_1+7d + a_1+11d - (a_1+14d) = 3 \Rightarrow a_1 + 4d = 3$. Из второго: $a_1 = 3 - 4d$. Подставим в первое: $2(3 - 4d) + 18d = 21 \Rightarrow 6 - 8d + 18d = 21 \Rightarrow 10d = 15 \Rightarrow d = 1,5$. $a_1 = 3 - 4(1,5) = 3 - 6 = -3$. $S_{20} = \frac{2(-3) + 1,5(19)}{2} \cdot 20 = (-6 + 28,5) \cdot 10 = 22,5 \cdot 10 = 225$. Ответ: 225.