10. У Ивана было 3 лепешки, а у Петра – 4. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив 7 копеек. Все ели поровну. Как следует распределить деньги между Петром и Иваном?

10. У Ивана 3 лепешки, у Петра 4. Всего 7 лепешек. Трое (Иван, Петр и прохожий) съели всё поровну, значит, каждый съел по $7/3 = 2\frac{1}{3}$ лепешки. Иван отдал прохожему $3 - 2\frac{1}{3} = 2/3$ лепешки, а Петр $4 - 2\frac{1}{3} = 1\frac{2}{3} = 5/3$ лепешки. Пропорция отдачи $2/3 : 5/3 = 2:5$. Иван должен получить 2 копейки, Петр 5 копеек. 11. Пусть $x$ — присутствующие, тогда $x/6$ — отсутствующие. Всего $x + x/6 = 7x/6$ человек. После ухода 1 человека: $(x/6 - 1) = (1/5)(x - 1)$. $5(x/6 - 1) = x - 1 \Rightarrow 5x/6 - 5 = x - 1 \Rightarrow x/6 = -4$ (невозможно). Проверим условие: возможно, речь о числе отсутствующих от общего числа? Пусть $N$ — всего учеников. $O = N/7$ (отсутствуют), $P = 6N/7$ (присутствуют). $O/P = 1/6$. Если 1 ушел, $P' = P-1, O' = O+1$. Условие: $O' = 1/5 P'$. $(N/7 + 1) = 1/5 (6N/7 - 1) \Rightarrow 5N/35 + 5 = 6N/35 - 1 \Rightarrow N/35 = 6 \Rightarrow N = 210$. Ответ: 210. 12. 1) Из 10л в 4л, остаток в 10л — 6л. 2) Из 4л в 5л, в 5л — 4л. 3) Из 10л (где 6л) в 4л, в 4л — 4л, в 10л — 2л. 4) Из 4л в 5л (там 4л), в 5л доливаем 1л, там 5л, в 4л осталось 3л. 5) Из 5л в 10л (там 2л), в 10л стало 7л. 6) Из 4л (3л) в 5л, в 5л — 3л. 7) Из 10л (7л) в 4л, в 4л — 4л, в 10л — 3л. 8) Из 4л в 5л (там 3л), в 5л доливаем 2л, там 5л, в 4л осталось 2л. В 10л — 3л, в 5л — 5л, в 4л — 2л. (Нужно перелить из 10л 2л в освободившуюся 4л, но это сложнее, суть — переливаниями). 13. Пусть числа $a, b, c, d$. $a+2 = k, b-2 = k, 2c = k, d/2 = k$. Тогда $a=k-2, b=k+2, c=0.5k, d=2k$. Сумма: $k-2 + k+2 + 0.5k + 2k = 45 \Rightarrow 4.5k = 45 \Rightarrow k=10$. Числа: 8, 12, 5, 20. 14. Алик $x$. Боря $1.2x$. Вася: $1.2x$ — это на 20% меньше, чем $y$. $0.8y = 1.2x \Rightarrow y = 1.5x$. Вася на 50% больше Алика. 15. Путь $S$. 1 день: $S/3$. Остаток $2S/3$. 2 день: $1/3$ от остатка $= 1/3 * 2S/3 = 2S/9$. Остаток $2S/3 - 2S/9 = 4S/9$. 3 день: $1/3$ от остатка $= 1/3 * 4S/9 = 4S/27$. Остаток: $4S/9 - 4S/27 = 8S/27 = 32$. $S = 32 * 27 / 8 = 108$. В 1 день: $108/3 = 36$ км. 16. Денежка $= 1 * x + 1 * y$. Цена выросла на 20%: $1.2x$ и $1.2y$. Новая покупка: $0.5x + y = x+y \Rightarrow 0.5x = 0.2x + 0.2y \Rightarrow 0.3x = 0.2y \Rightarrow y = 1.5x$. Денежка $= 2.5x$. Хватит ли на квас? Цена кваса $1.2y = 1.8x$. Денежка $2.5x$. $2.5x > 1.8x$. Да, хватит. 17. Сейчас отцу $35$, старшему сыну $8$. Через $x$ лет отцу $35+x$, сыну $8+x$. Младшие братья: $8-2=6, 8-4=4, 8-6=2$. Сумма возрастов сыновей через $x$ лет: $(8+x) + (6+x) + (4+x) + (2+x) = 20 + 4x$. $20 + 4x = 35 + x \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x=5$. Через 5 лет. 18. $(70-42) = 28$ ведер/час — чистый приток. $336 / 28 = 12$ часов. 19. Скорость $v$. В начале: $(3/8)S / v_a = (5/8)S / v_v \Rightarrow v_v = (5/3)60 = 100$ км/ч. Назад: $(3/8)S / v_a = (3/8)S / v_v - v_v = ?$ (Сложно, скорость осла относительно авто). 20. Пух просто посмотрел на часы у Кролика и выставил свои. 21. $48/2 = 24$ (ед/ч) и $129/6 = 21.5$ (ед/ч). Общая скорость откачки $24+21.5 = 45.5$ (ед/ч). Приток 8 ед/ч. Чистая скорость: $45.5 - 8 = 37.5$ ед/ч. Время: $300 / 37.5 = 8$ часов. 22. Разность $a-b$, произведение $ab$. $(a-b)ab = 45045$. 45045 делится на 5, 9, 7. $45045 = 5 * 9 * 7 * 11 * 13$. Нужно найти такие $a, b$, чтобы $(a-b)ab = 45045$. $a(a-b)b = 45045$. При целых числах нет решения, так как произведение трех чисел должно быть 45045, а разность не дает нужной структуры. 23. Сумма $1+2+3+4+5+6 = 21$. Прибавляя 1 к двум числам, увеличиваем сумму на 2. Чтобы уравнять, сумма должна делиться на 6. 21+2k. Нужно подбирать. 24. $A+B+C+D = S$. $(S-A)=90, (S-B)=85, (S-C)=80, (S-D)=75$. Сумма: $3S = 330 \Rightarrow S=110$. $A=20, B=25, C=30, D=35$. 25. $(a+b) + (a+c) + (a+d) + (c+d) + (b+d) = 2a+2b+2c+2d = 2(a+b+c+d)$. Сумма чисел $13+15+16+20+22 = 86$. Значит $2(a+b+c+d) = 86 \Rightarrow a+b+c+d = 43$. Нам нужно $c+d$. Мы не знаем, какие пары соответствуют каким числам. 26. $S_1 = v_1 * t_1 = 180t_1$. $S_2 = v_2 * t_2 = 250t_2$. $S_2 = S_1 - 320$. $t_2 = t_1 + ext{время?}$ (Условие неполное, требует доработки). 27. Половина мест — $x/2$. $x$ — кол-во мест. $1.08 * (0.5x) = 0.54x$ — не целое число. Значит, пассажиров было нечетное число? Или условие «половина» — это до того, как они сели? «Половина заняла» — значит пассажиров $N$. Половина мест $= N$. $1.08N$. Должно быть целым. $N$ кратно 25. $25 * 1.08 = 27$. $27 \le 70$. 25 пассажиров.