1/(a(a+3)) + 1/((a+3)(a+6)) + 1/((a+6)(a+9)) + 1/((a+9)(a+12))

Question

Вопрос:

1/(a(a+3)) + 1/((a+3)(a+6)) + 1/((a+6)(a+9)) + 1/((a+9)(a+12))

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения данного выражения воспользуемся методом разложения дроби на сумму или разность более простых дробей. Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{x(x+k)}$ можно представить как $\frac{1}{k} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+k})$. В нашем случае разность между множителями в знаменателе равна $3$. Тогда: $\frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3})$ $\frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6})$ $\frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9})$ $\frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12})$ Сложим все части, вынеся общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки: $\frac{1}{3} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} + \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12})$ Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $\frac{1}{3} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+12})$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{1}{3} (\frac{a+12 - a}{a(a+12)}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)}$ **Ответ:** $\frac{4}{a(a+12)}$

1/(a(a+3)) + 1/((a+3)(a+6)) + 1/((a+6)(a+9)) + 1/((a+9)(a+12))

Ответ ассистента

Другие решения