Один из корней уравнения x^2 - 10x + c = 0 на 8 меньше другого. Найдите значение параметра c и корни уравнения.

Для решения этих задач воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. ### Решение задания 34.18 Уравнение $x^2 - 10x + c = 0$. По теореме Виета: 1) $x_1 + x_2 = 10$ 2) $x_1 \cdot x_2 = c$ По условию, один корень на 8 меньше другого: $x_1 = x_2 - 8$. Подставим в сумму: $(x_2 - 8) + x_2 = 10 \Rightarrow 2x_2 = 18 \Rightarrow x_2 = 9$. Тогда $x_1 = 9 - 8 = 1$. $c = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 9 = 9$. **Ответ:** $c = 9$, корни $1$ и $9$. ### Решение задания 34.19 Уравнение $x^2 + 20x + a = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -20$, $x_1 \cdot x_2 = a$. По условию, $x_1 : x_2 = 7 : 3$, значит $x_1 = 7k, x_2 = 3k$. Сумма: $7k + 3k = -20 \Rightarrow 10k = -20 \Rightarrow k = -2$. Тогда корни: $x_1 = 7(-2) = -14$, $x_2 = 3(-2) = -6$. $a = x_1 \cdot x_2 = (-14) \cdot (-6) = 84$. **Ответ:** $a = 84$, корни $-14$ и $-6$. ### Решение задания 34.20 Уравнение $x^2 - 7x + m = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = m$. Система: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \Rightarrow x_1 = 7 - x_2 \\ 2x_1 - 5x_2 = 28 \end{cases}$ Подставим $x_1$: $2(7 - x_2) - 5x_2 = 28 \Rightarrow 14 - 2x_2 - 5x_2 = 28 \Rightarrow -7x_2 = 14 \Rightarrow x_2 = -2$. $x_1 = 7 - (-2) = 9$. $m = x_1 \cdot x_2 = 9 \cdot (-2) = -18$. **Ответ:** $m = -18$, корни $9$ и $-2$. ### Решение задания 34.21 Уравнение $x^2 + 4x + n = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = n$. Система: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \Rightarrow x_1 = -4 - x_2 \\ 3x_1 - x_2 = 8 \end{cases}$ Подставим $x_1$: $3(-4 - x_2) - x_2 = 8 \Rightarrow -12 - 3x_2 - x_2 = 8 \Rightarrow -4x_2 = 20 \Rightarrow x_2 = -5$. $x_1 = -4 - (-5) = 1$. $n = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-5) = -5$. **Ответ:** $n = -5$, корни $1$ и $-5$.