Задание 1. Задана функция y = -2x^2 + 6x - 7. Найдите: а) область определения данной функции (10 баллов); б) область значений данной функции (10 баллов).

Задание 1. a) Так как данная функция является квадратичной, она определена для любого действительного числа. Область определения: $x \in \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$. б) Найдем вершину параболы $x_0 = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-2)) = -6 / (-4) = 1,5$. Найдем $y_0 = y(1,5) = -2 \cdot (1,5)^2 + 6 \cdot 1,5 - 7 = -2 \cdot 2,25 + 9 - 7 = -4,5 + 2 = -2,5$. Так как ветви параболы направлены вниз ($a = -2 < 0$), то наибольшее значение функции равно $-2,5$. Область значений: $y \in (-\infty; -2,5]$. Задание 2. Вершина параболы $x_0 = -b / (2a) = -12 / (2 \cdot (-3)) = -12 / (-6) = 2$. Наибольшее значение функции равно $y(2) = -3 \cdot (2)^2 + 12 \cdot 2 + d = -3 \cdot 4 + 24 + d = -12 + 24 + d = 12 + d$. По условию, $12 + d = 15$, откуда $d = 3$. Ответ: 3. Задание 3. a) График функции $y = \sqrt{x-2} - 3$ получается путем сдвига базового графика $y = \sqrt{x}$ вправо на 2 единицы и вниз на 3 единицы. :::@chart-1::: б) Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Область определения: $[2; +\infty)$. Область значений: так как $\sqrt{x-2} \ge 0$, то при вычитании 3 получим $y \ge -3$. Область значений: $[-3; +\infty)$. в) Функция $y = \sqrt{x-2} - 3$ является возрастающей на всей области определения $[2; +\infty)$. Промежутков убывания нет.