В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K – середины боковых рёбер SA и SD соответственно. а) Докажите, что прямые BC и MK лежат в одной плоскости. б) Найдите высоту пирамиды, если AB = 6, а угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 60°.

Решение: а) Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. 1. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SD$. Отрезок $MK$ является средней линией треугольника $SAD$ (или соединяет середины боковых ребер). В правильной пирамиде прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (так как $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, $BC \parallel AD$). 2. Так как $MK \parallel AD$ (по теореме Фалеса в треугольнике $SAD$ или свойству средней линии) и $AD \parallel BC$, то $MK \parallel BC$. 3. Если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $BC$ и $MK$ лежат в одной плоскости. б) Найдем высоту пирамиды $SO$. 1. Пусть $BC = 6$. Так как пирамида правильная, $AB = BC = 6$. Отрезок $AD$ — диагональ правильного шестиугольника, $AD = 2 \cdot AB = 12$. Отрезок $MK = \frac{1}{2}AD = 6$. 2. Плоскость $(BMC)$ проходит через $BC$. Пусть $N$ — середина $BC$. Тогда $SN$ — высота грани $SBC$, а $ON$ — апофема основания. Угол между $(BMC)$ и $(ABC)$ — это линейный угол двугранного угла, который образуется плоскостями. Его можно найти через высоту пирамиды $SO$ и расстояние от центра $O$ до стороны $BC$. 3. $ON = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 4. Угол между плоскостью $(BMC)$ и основанием равен углу $\angle SNO = 60^\circ$ (так как $SO \perp (ABC)$). 5. В прямоугольном треугольнике $\triangle SON$ имеем: $\tan 60^\circ = \frac{SO}{ON}$. 6. $SO = ON \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$. Ответ: 9.