Самостоятельная работа № 5. Функция и её свойства. 1. Исследуйте на чётность функцию...

Самостоятельная работа № 5 **1. Исследуйте на чётность функцию:** 1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$ $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 2x} = -\frac{1}{x^3 + 2x} = -f(x)$ — функция нечётная. 2) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$ $D(f): 6 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 6 \Rightarrow x \in [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ (область определения симметрична). $f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2} = f(x)$ — функция чётная. 3) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$ $f(x) = \frac{x(x - 4)}{2(x - 4)}$. При $x \neq 4$: $f(x) = 0,5x$. Область определения $D(f): x \neq 4$ не симметрична относительно нуля (точке $x = -4$ нет парной точки в области определения, так как $x = 4$ исключена). Функция общего вида. **2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:** 1) $y = \sqrt{x^2 - 4x}$ Нули: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4$. Область определения: $x(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$. Значений $y < 0$ нет (корень всегда неотрицателен). 2) $y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}$ Нули: $x - 1 = 0$ или $x^2 - 4x = 0$. $x = 1$ (не входит в $D(f)$), $x = 0, x = 4$. $D(f): x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$. $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ (так как $(x-1) < 0$ и $\sqrt{\dots} > 0$). $y > 0$ при $x \in (4; +\infty)$ (так как $(x-1) > 0$ и $\sqrt{\dots} > 0$). **3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$:** Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$. Ветви вверх. 1) На $[-3; 1]$: Вершина $2 \notin [-3; 1]$. Функция убывает на всем отрезке. $y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23$ (наиб.) $y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = -1$ (наим.) 2) На $[1; 4]$: Вершина $2 \in [1; 4]$. $y(2) = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$ (наим.) $y(1) = -1$; $y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 2$. $y(4) = 2$ (наиб.) **4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$:** Пусть $\frac{x}{x^2 + 16} = a$. Тогда $ax^2 - x + 16a = 0$. Для существования корней $D = 1 - 4 \cdot a \cdot 16a = 1 - 64a^2 \ge 0$. $64a^2 \le 1 \Rightarrow a^2 \le \frac{1}{64} \Rightarrow a \in [-\frac{1}{8}; \frac{1}{8}]$. **Ответ:** $E(f) = [-0,125; 0,125]$.