x^2 + 2x - 3 / log_3(8 * 2^x) <= 0

Для решения неравенства $\frac{x^2 + 2x - 3}{\log_3(8 \cdot 2^x)} \leq 0$ воспользуемся методом интервалов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Найдем ОДЗ: Знаменатель не должен равняться нулю: $\log_3(8 \cdot 2^x) \neq 0$ $8 \cdot 2^x \neq 3^0$ $8 \cdot 2^x \neq 1$ $2^x \neq \frac{1}{8}$ $2^x \neq 2^{-3} \Rightarrow x \neq -3$. Также выражение под логарифмом должно быть положительным: $8 \cdot 2^x > 0$ (выполняется всегда, так как $2^x > 0$ для любого $x$). 2. Преобразуем знаменатель: Используем свойство логарифмов $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$: $\log_3(8 \cdot 2^x) = \log_3(8) + \log_3(2^x) = \log_3(2^3) + x \log_3 2 = 3 \log_3 2 + x \log_3 2 = \log_3 2 (3 + x)$. Так как $\log_3 2 > 0$ (так как $3 > 1$ и $2 > 1$), то знак выражения $\log_3(8 \cdot 2^x)$ совпадает со знаком выражения $(x+3)$. 3. Решаем неравенство: Исходное неравенство эквивалентно: $\frac{(x+3)(x-1)}{x+3} \leq 0$ Сокращаем на $(x+3)$, учитывая ОДЗ ($x \neq -3$): $x - 1 \leq 0$ $x \leq 1$ С учетом ОДЗ ($x \neq -3$), получаем интервал: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$. Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1]$.