ТЕМА 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

### Вариант 1 1. Решение системы: $\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 5x - 4y = 19 \end{cases}$ Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3: $\begin{cases} 8x + 12y = 12 \\ 15x - 12y = 57 \end{cases}$ Складываем уравнения: $23x = 69 \implies x = 3$. Подставляем $x=3$ в первое: $2(3) + 3y = 3 \implies 6 + 3y = 3 \implies 3y = -3 \implies y = -1$. Ответ: $(3; -1)$. 2. Уравнение прямой через $A(0; 3)$ и $B(-1; 0)$: Уравнение $y = kx + b$. Так как проходит через $(0; 3)$, то $b=3$. Подставим вторую точку: $0 = k(-1) + 3 \implies k = 3$. Ответ: $y = 3x + 3$. ### Вариант 2 1. Решение системы: $\begin{cases} 3x + 7y = -1 \\ 2x - 3y = 7 \end{cases}$ Умножим первое на 3, второе на 7: $\begin{cases} 9x + 21y = -3 \\ 14x - 21y = 49 \end{cases}$ Складываем: $23x = 46 \implies x = 2$. Подставляем в $2x - 3y = 7$: $2(2) - 3y = 7 \implies 4 - 3y = 7 \implies -3y = 3 \implies y = -1$. Ответ: $(2; -1)$. 2. Уравнение прямой через $A(2; 0)$ и $B(0; 1)$: Уравнение отрезков: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1 \implies y = 1 - 0.5x$. Ответ: $y = -0.5x + 1$. ### Вариант 3 1. Решение системы: $\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 5x + 6y = -2 \end{cases}$ Умножим первое на -3: $\begin{cases} -9x - 6y = -18 \\ 5x + 6y = -2 \end{cases}$ Складываем: $-4x = -20 \implies x = 5$. Подставляем: $3(5) + 2y = 6 \implies 15 + 2y = 6 \implies 2y = -9 \implies y = -4.5$. Ответ: $(5; -4.5)$. 2. Уравнение прямой через $A(3; -3)$ и $B(-1; 9)$: $k = \frac{9 - (-3)}{-1 - 3} = \frac{12}{-4} = -3$. $y - (-3) = -3(x - 3) \implies y + 3 = -3x + 9 \implies y = -3x + 6$. Ответ: $y = -3x + 6$. ### Вариант 4 1. Решение системы: $\begin{cases} 5x + 3y = 1,4 \\ -7x - 10y = 5 \end{cases}$ Умножим первое на 10, второе на 3: $\begin{cases} 50x + 30y = 14 \\ -21x - 30y = 15 \end{cases}$ Складываем: $29x = 29 \implies x = 1$. Подставляем: $5(1) + 3y = 1,4 \implies 5 + 3y = 1,4 \implies 3y = -3,6 \implies y = -1.2$. Ответ: $(1; -1.2)$. 2. Уравнение прямой через $A(2; 3)$ и $B(-6; -1)$: $k = \frac{-1 - 3}{-6 - 2} = \frac{-4}{-8} = 0.5$. $y - 3 = 0.5(x - 2) \implies y - 3 = 0.5x - 1 \implies y = 0.5x + 2$. Ответ: $y = 0.5x + 2$.