правила нахождение первообразной дробно-линейной функции

Question

Вопрос:

правила нахождение первообразной дробно-линейной функции

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дробно-линейная функция имеет вид $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ (где $c \neq 0$). Для нахождения первообразной необходимо выделить целую часть дроби. ### Алгоритм: 1. Преобразуем числитель, выделив выражение $(cx + d)$: $f(x) = \frac{\frac{a}{c}(cx + d) - \frac{ad}{c} + b}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}$ 2. Интегрируем выражение по частям: $F(x) = \int \left( \frac{a}{c} + \frac{k}{cx+d} \right) dx = \frac{a}{c}x + \frac{k}{c} \ln|cx+d| + C$ где $k = b - \frac{ad}{c}$. ### Пример: Найти первообразную для $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. 1. Выделим целую часть: $\frac{2(x-1) + 2 + 3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$ 2. Интегрируем: $F(x) = \int (2 + \frac{5}{x-1}) dx = 2x + 5 \ln|x-1| + C$.

правила нахождение первообразной дробно-линейной функции

Ответ ассистента

Другие решения