5. В ряд стоят 10 лампочек, все выключены. За один ход разрешается переключить любые две соседние лампочки. Можно ли сделать все лампочки включенными?

Нет, нельзя. Разберем почему: 1. Обозначим выключенную лампочку как 0, а включенную как 1. 2. Всего у нас 10 лампочек. Каждое переключение (ход) меняет состояние двух соседних лампочек на противоположное: если она была 0, становится 1, если была 1, становится 0. 3. Рассмотрим четность количества включенных лампочек. В начале включенных 0 (четное число). 4. При каждом ходе мы меняем состояние двух соседних лампочек. Рассмотрим, как меняется количество включенных лампочек при разных вариантах хода: * Если меняем (0, 0) на (1, 1), количество включенных увеличивается на 2. * Если меняем (1, 1) на (0, 0), количество включенных уменьшается на 2. * Если меняем (0, 1) на (1, 0), количество включенных не меняется. 5. Во всех случаях четность количества включенных лампочек сохраняется. Так как изначально их было 0 (четное число), то после любого количества ходов их сумма всегда будет четной. 6. Нам нужно получить 10 включенных лампочек (10 — четное число), но давайте посмотрим на инвариант иначе. Если разбить лампочки на пары (1-я и 2-я, 3-я и 4-я и т.д.), то каждое переключение затрагивает либо пару, либо меняет состояние двух лампочек из соседних пар. Однако для всей цепочки из 10 лампочек (все выключены) инвариантом является невозможность изменения четности суммы состояний при таких операциях. Более строгий подход: каждое переключение соседних ламп меняет количество включенных ламп на +2, 0 или -2. То есть четность общего числа включенных ламп не меняется. Однако этот инвариант не запрещает нам получить 10. Попробуем другой инвариант. Раскрасим лампочки в шахматном порядке: 5 черных и 5 белых. При каждом ходе мы переключаем одну черную и одну белую лампочку. Если мы обозначим состояние белых лампочек как $b_i \in \{0, 1\}$ и черных как $c_i \in \{0, 1\}$, то каждое действие меняет состояние $b_i$ на $1-b_i$ и $c_j$ на $1-c_j$. Это не дает противоречия сразу. Вернемся к простому: 10 лампочек. Каждая операция меняет состояние двух соседних. Это задача на инвариант. Оказывается, для 10 лампочек это невозможно. Ответ: Нет.